Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ? | MetMat

Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?

En vérifiant l'orthogonalité sur une base de chaque sous-espace

Prouver qu'un sous-espace $F$ est orthogonal à un sous-espace $G$ d'un espace euclidien $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1, 0), (0, 0, 1))$ sont orthogonaux.

L'objectif

Prouver qu'un sous-espace $F$ est orthogonal à un sous-espace $G$ d'un espace euclidien $E$ .

Le principe

Si $(u_1, \ldots, u_p)$ est une base de $F$ et $(v_1, \ldots, v_q)$ une base de $G$ , alors par bilinéarité du produit scalaire, $F \perp G$ si et seulement si $\forall (i, j), \langle u_i, v_j \rangle = 0$ .

La méthode

1
Je détermine une base $(u_1, \ldots, u_p)$ de $F$ et une base $(v_1, \ldots, v_q)$ de $G$ .
2
Je calcule $\langle u_i, v_j \rangle$ pour tous les couples $(i, j) \in \{1, \ldots, p\} \times \{1, \ldots, q\}$ .
3
Je vérifie que tous ces produits scalaires sont nuls.
4
Par bilinéarité, tout $x \in F$ et tout $y \in G$ s'écrivent comme combinaisons linéaires des $u_i$ et $v_j$ , donc $\langle x, y \rangle = 0$ et je conclus que $F \perp G$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1, 0), (0, 0, 1))$ sont orthogonaux.

Étape 1 —

Je détermine une base

(u_1, \ldots, u_p)

F

et une base

(v_1, \ldots, v_q)

G

Base de $F$ : $u_1 = (1, 1, 0)$ . Base de $G$ : $v_1 = (1, -1, 0)$ , $v_2 = (0, 0, 1)$ .

Étape 2 —

Je calcule

\langle u_i, v_j \rangle

pour tous les couples

(i, j) \in \{1, \ldots, p\} \times \{1, \ldots, q\}

$\langle u_1, v_1 \rangle = 1 - 1 + 0 = 0$ et $\langle u_1, v_2 \rangle = 0 + 0 + 0 = 0$ .

Étape 3 —

Je vérifie que tous ces produits scalaires sont nuls.

Tous les produits scalaires $\langle u_i, v_j \rangle$ sont nuls.

Étape 4 —

Par bilinéarité, tout

x \in F

et tout

y \in G

s'écrivent comme combinaisons linéaires des

u_i

v_j

, donc

\langle x, y \rangle = 0

et je conclus que

F \perp G

Par bilinéarité, pour tout $x \in F$ et $y \in G$ , $\langle x, y \rangle = 0$ . Donc $F \perp G$ .

$F \perp G$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P Q$ , montrer que $F = \mathrm{Vect}(1)$ et $G = \mathrm{Vect}(X, X^3 - \frac{3}{5} X)$ sont orthogonaux.

Application autonome 1

Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ muni de $\langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ , montrer que $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ (matrices symétriques) et $\mathcal{A}_2(\mathbb{R})$ (matrices antisymétriques) sont orthogonaux.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^4$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, -1))$ sont orthogonaux.

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, montrer que $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 1))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1, 0), (1, 1, -2))$ sont orthogonaux.

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