Comment calculer la norme euclidienne d'un vecteur à partir du produit scalaire ? | MetMat

Comment calculer la norme euclidienne d'un vecteur à partir du produit scalaire ?

En développant $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$

Relier la norme d'une somme (ou d'une différence) au produit scalaire, afin de calculer une norme ou un produit scalaire à partir d'une combinaison connue.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire canonique, on donne $\|x\| = 3$ , $\|y\| = 4$ et $\langle x, y \rangle = 5$ . Calculer $\|x + y\|$ et $\|x - y\|$ .

L'objectif

Relier la norme d'une somme (ou d'une différence) au produit scalaire, afin de calculer une norme ou un produit scalaire à partir d'une combinaison connue.

Le principe

Par bilinéarité et symétrie, $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \|y\|^2$ et $\|x - y\|^2 = \|x\|^2 - 2 \langle x, y \rangle + \|y\|^2$ : ces identités de polarisation lient norme et produit scalaire.

La méthode

1
Je développe $\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle$ à l'aide de la bilinéarité et de la symétrie.
2
J'obtiens $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \|y\|^2$ (ou l'analogue avec $x - y$ ).
3
J'isole le terme recherché : soit $\|x + y\|^2$ à partir de $\|x\|$ , $\|y\|$ et $\langle x, y \rangle$ , soit $\langle x, y \rangle = \frac{1}{2} (\|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2)$ .
4
Je calcule la quantité demandée et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire canonique, on donne $\|x\| = 3$ , $\|y\| = 4$ et $\langle x, y \rangle = 5$ . Calculer $\|x + y\|$ et $\|x - y\|$ .

Étape 1 —

Je développe

\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle

à l'aide de la bilinéarité et de la symétrie.

Par bilinéarité : $\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2 \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle$ .

Étape 2 —

J'obtiens

\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \|y\|^2

(ou l'analogue avec

x - y

$\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \|y\|^2 = 9 + 10 + 16 = 35$ . De même $\|x - y\|^2 = 9 - 10 + 16 = 15$ .

Étape 3 —

J'isole le terme recherché : soit

\|x + y\|^2

à partir de

\|x\|

\|y\|

\langle x, y \rangle

, soit

\langle x, y \rangle = \frac{1}{2} (\|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2)

On isole les normes cherchées : $\|x + y\| = \sqrt{35}$ et $\|x - y\| = \sqrt{15}$ .

Étape 4 —

Je calcule la quantité demandée et je conclus.

$\|x + y\| = \sqrt{35}$ et $\|x - y\| = \sqrt{15}$ .

$\|x + y\| = \sqrt{35}$ , $\|x - y\| = \sqrt{15}$ .

Application guidée

Dans un espace euclidien $E$ , on connaît $\|x\| = 2$ , $\|y\| = 3$ et $\|x + y\| = 4$ . Calculer $\langle x, y \rangle$ .

Application autonome 1

Dans un espace euclidien, montrer l'identité du parallélogramme $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2 \|x\|^2 + 2 \|y\|^2$ .

Application autonome 2

Dans un espace euclidien $E$ , on donne $\|x\| = 1$ , $\|y\| = 2$ et $\|x - y\| = \sqrt{5}$ . Calculer $\langle x, y \rangle$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, soient $x$ et $y$ tels que $\|x\| = \|y\| = 2$ et $\|x + y\| = 2$ . Calculer $\langle x, y \rangle$ et $\|x - y\|$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En développant ∥x+y∥2=∥x∥2+2⟨x,y⟩+∥y∥2\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2∥x+y∥2=∥x∥2+2⟨x,y⟩+∥y∥2

Pour comprendre, fais des exercices !

En développant $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$