Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ? | MetMat

Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?

En généralisant à une famille orthogonale : $\|\sum x_i\|^2 = \sum \|x_i\|^2$

Calculer $\|\sum_i x_i\|$ ou établir une identité de type Parseval pour une famille orthogonale.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans une base orthonormée $(e_1, e_2, e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ , soit $x = 2 e_1 - 3 e_2 + e_3$ . Calculer $\|x\|$ .

L'objectif

Calculer $\|\sum_i x_i\|$ ou établir une identité de type Parseval pour une famille orthogonale.

Le principe

Si les $x_i$ sont deux à deux orthogonaux, alors $\left\|\sum_{i=1}^{k} x_i\right\|^2 = \sum_{i=1}^{k} \|x_i\|^2$ (obtenu par développement et élimination des produits scalaires croisés).

La méthode

1
Je vérifie que les $x_i$ sont deux à deux orthogonaux : $\langle x_i, x_j\rangle = 0$ pour $i \neq j$ .
2
Je développe $\left\|\sum x_i\right\|^2 = \sum_{i,j} \langle x_i, x_j\rangle$ par bilinéarité.
3
J'élimine les termes croisés $\langle x_i, x_j\rangle$ avec $i \neq j$ , ne gardant que la diagonale : $\sum_i \|x_i\|^2$ .
4
Je conclus sur la valeur de $\|\sum x_i\|$ ou l'identité cherchée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans une base orthonormée $(e_1, e_2, e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ , soit $x = 2 e_1 - 3 e_2 + e_3$ . Calculer $\|x\|$ .

Étape 1 —

Je vérifie que les

x_i

sont deux à deux orthogonaux :

\langle x_i, x_j\rangle = 0

pour

i \neq j

Les $e_i$ sont deux à deux orthogonaux (base orthonormée).

Étape 2 —

Je développe

\left\|\sum x_i\right\|^2 = \sum_{i,j} \langle x_i, x_j\rangle

par bilinéarité.

$\|x\|^2 = \|2e_1\|^2 + \|{-3e_2}\|^2 + \|e_3\|^2 + \text{termes croisés nuls}$ .

Étape 3 —

J'élimine les termes croisés

\langle x_i, x_j\rangle

avec

i \neq j

, ne gardant que la diagonale :

\sum_i \|x_i\|^2

Comme $\|e_i\| = 1$ : $\|x\|^2 = 4 + 9 + 1 = 14$ .

Étape 4 —

Je conclus sur la valeur de

\|\sum x_i\|

ou l'identité cherchée.

$\|x\| = \sqrt{14}$ (formule de Parseval).

$\|x\| = \sqrt{14}$ .

Application guidée

Soient $(x_1, x_2, x_3)$ une famille orthogonale avec $\|x_1\| = 1$ , $\|x_2\| = 2$ , $\|x_3\| = 3$ . Calculer $\|x_1 + x_2 + x_3\|$ .

Application autonome 1

Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée d'un espace euclidien $E$ et $x \in E$ . Démontrer $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i \rangle^2$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soient $x_1 = (1,0,0)$ , $x_2 = (0,2,0)$ , $x_3 = (0,0,3)$ . Calculer $\|x_1 + x_2 + x_3\|^2$ par Pythagore étendu.

Application autonome 3

Soient $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ base orthonormée de $E$ et $y = 2 e_1 - 3 e_2 + e_4$ . Calculer $\|y\|^2$ par Pythagore.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En généralisant à une famille orthogonale : ∥∑xi∥2=∑∥xi∥2\|\sum x_i\|^2 = \sum \|x_i\|^2∥∑xi​∥2=∑∥xi​∥2

Pour comprendre, fais des exercices !

En généralisant à une famille orthogonale : $\|\sum x_i\|^2 = \sum \|x_i\|^2$