En généralisant à une famille orthogonale : $\|\sum x_i\|^2 = \sum \|x_i\|^2$

Dans une base orthonormée $(e_1, e_2, e_3)$ de $\mathbb{R}^3$, soit $x = 2 e_1 - 3 e_2 + e_3$. Calculer $\|x\|$.

Soient $(x_1, x_2, x_3)$ une famille orthogonale avec $\|x_1\| = 1$, $\|x_2\| = 2$, $\|x_3\| = 3$. Calculer $\|x_1 + x_2 + x_3\|$.

Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée d'un espace euclidien $E$ et $x \in E$. Démontrer $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i \rangle^2$.

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soient $x_1 = (1,0,0)$, $x_2 = (0,2,0)$, $x_3 = (0,0,3)$. Calculer $\|x_1 + x_2 + x_3\|^2$ par Pythagore étendu.

Soient $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ base orthonormée de $E$ et $y = 2 e_1 - 3 e_2 + e_4$. Calculer $\|y\|^2$ par Pythagore.