Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ? | MetMat

Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?

En appliquant $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ lorsque $x \perp y$

Calculer $\|x+y\|$ ou établir une relation en exploitant l'orthogonalité de deux vecteurs.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, calculer $\|x+y\|$ pour $x = (3,0)$ et $y = (0,4)$ .

L'objectif

Calculer $\|x+y\|$ ou établir une relation en exploitant l'orthogonalité de deux vecteurs.

Le principe

Si $x \perp y$ , alors $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ , conséquence directe du développement $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse d'orthogonalité : $\langle x, y \rangle = 0$ (par calcul direct ou argument géométrique).
2
Je développe $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ .
3
J'utilise $\langle x, y \rangle = 0$ pour simplifier en $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .
4
Je conclus (valeur de $\|x+y\|$ ou identité cherchée).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, calculer $\|x+y\|$ pour $x = (3,0)$ et $y = (0,4)$ .

Étape 1 —

Je vérifie l'hypothèse d'orthogonalité :

\langle x, y \rangle = 0

(par calcul direct ou argument géométrique).

$\langle x, y \rangle = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 0$ , donc $x \perp y$ .

Étape 2 —

Je développe

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2

$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2 = 9 + 0 + 16 = 25$ .

Étape 3 —

J'utilise

\langle x, y \rangle = 0

pour simplifier en

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

$\|x+y\|^2 = 25$ , soit $\|x+y\| = 5$ .

Étape 4 —

Je conclus (valeur de

\|x+y\|

ou identité cherchée).

La longueur de la diagonale du rectangle est $\|x+y\| = 5$ .

$\|x+y\| = 5$ .

Application guidée

Dans un espace euclidien, montrer que si $\|x\| = \|y\|$ alors $(x+y) \perp (x-y)$ puis en déduire $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, calculer $\|x+y\|$ pour $x = (1,2,-1)$ et $y = (2,0,2)$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, calculer $\|x + y\|$ pour $x = (1, 2, 0, 0)$ et $y = (0, 0, 2, 3)$ .

Application autonome 3

Dans un espace euclidien, soit $(x, y)$ tel que $x \perp y$ , $\|x\| = 6$ et $\|y\| = 8$ . Calculer $\|x + y\|$ et $\|2 x - 3 y\|$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2 lorsque x⊥yx \perp yx⊥y

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ lorsque $x \perp y$