En invoquant que la matrice de passage entre bases orthonormées est orthogonale

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, soient $e'_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ et $e'_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$. Écrire $P$ et vérifier que $P^{-1} = {}^t\!P$.

Dans $\mathbb{R}^2$, soit la rotation d'angle $\theta$ : $e'_1 = (\cos\theta, \sin\theta)$, $e'_2 = (-\sin\theta, \cos\theta)$. Déterminer $P^{-1}$.

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, $f$ a pour matrice $A$ dans la base canonique. Écrire sa matrice $A'$ dans la base orthonormée $\mathcal{B}' = (e'_1, e'_2, e'_3)$ avec $e'_1 = \tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$, $e'_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$, $e'_3 = \tfrac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$.

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soient $e'_1 = \tfrac{1}{3}(2, 2, 1)$, $e'_2 = \tfrac{1}{3}(2, -1, -2)$, $e'_3 = \tfrac{1}{3}(1, -2, 2)$. Vérifier que la matrice $P$ de passage est orthogonale et donner $P^{-1}$.

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soit $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Vérifier que $P$ est orthogonale et donner $P^{-1}$.