Comment reconnaître qu'une matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale et exploiter $P^{-1} = {}^t\!P$ ? | MetMat

Comment reconnaître qu'une matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale et exploiter $P^{-1} = {}^t\!P$ ?

En invoquant que la matrice de passage entre bases orthonormées est orthogonale

Exploiter l'orthogonalité de $P$ pour simplifier l'inversion et les formules de changement de base.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, soient $e'_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ et $e'_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ . Écrire $P$ et vérifier que $P^{-1} = {}^t\!P$ .

L'objectif

Exploiter l'orthogonalité de $P$ pour simplifier l'inversion et les formules de changement de base.

Le principe

La matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale (cours) : elle vérifie ${}^t\!P\, P = I_n$ , donc $P^{-1} = {}^t\!P$ .

La méthode

1
Je vérifie que les deux bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont orthonormées pour le même produit scalaire.
2
J'écris la matrice de passage $P = P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}$ en colonnes : coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ .
Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?Voir
3
Je conclus, sans calcul, que $P$ est orthogonale : $P^{-1} = {}^t\!P$ , et éventuellement je le vérifie en calculant ${}^t\!P\, P$ .
4
Je remplace $P^{-1}$ par ${}^t\!P$ dans les formules utiles (par ex. $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = {}^t\!P\, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\, P$ , $X_{\mathcal{B}'} = {}^t\!P\, X_{\mathcal{B}}$ ).

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, soient $e'_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ et $e'_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ . Écrire $P$ et vérifier que $P^{-1} = {}^t\!P$ .

Étape 1 —

Je vérifie que les deux bases

\mathcal{B}

\mathcal{B}'

sont orthonormées pour le même produit scalaire.

$(e_1, e_2)$ canonique est orthonormée ; $(e'_1, e'_2)$ aussi : $\|e'_i\| = 1$ et $\langle e'_1, e'_2 \rangle = 0$ .

Étape 2 —

J'écris la matrice de passage

P = P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}

en colonnes : coordonnées des vecteurs de

\mathcal{B}'

dans

\mathcal{B}

$P = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je conclus, sans calcul, que

P

est orthogonale :

P^{-1} = {}^t\!P

, et éventuellement je le vérifie en calculant

{}^t\!P\, P

Comme $P$ passe entre deux bases orthonormées, $P$ est orthogonale, donc $P^{-1} = {}^t\!P = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (ici $P$ est symétrique).

Étape 4 —

Je remplace

P^{-1}

par

{}^t\!P

dans les formules utiles (par ex.

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = {}^t\!P\, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\, P

X_{\mathcal{B}'} = {}^t\!P\, X_{\mathcal{B}}

Vérification : ${}^t\!P\, P = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = I_2$ .

$P^{-1} = {}^t\!P = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^2$ , soit la rotation d'angle $\theta$ : $e'_1 = (\cos\theta, \sin\theta)$ , $e'_2 = (-\sin\theta, \cos\theta)$ . Déterminer $P^{-1}$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, $f$ a pour matrice $A$ dans la base canonique. Écrire sa matrice $A'$ dans la base orthonormée $\mathcal{B}' = (e'_1, e'_2, e'_3)$ avec $e'_1 = \tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ , $e'_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ , $e'_3 = \tfrac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soient $e'_1 = \tfrac{1}{3}(2, 2, 1)$ , $e'_2 = \tfrac{1}{3}(2, -1, -2)$ , $e'_3 = \tfrac{1}{3}(1, -2, 2)$ . Vérifier que la matrice $P$ de passage est orthogonale et donner $P^{-1}$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soit $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Vérifier que $P$ est orthogonale et donner $P^{-1}$ .

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