Comment déterminer le supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$ d'un sous-espace $F$ ? | MetMat

Comment déterminer le supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$ d'un sous-espace $F$ ?

En résolvant le système $\langle x, f_i \rangle = 0$ sur une base de $F$

Obtenir une description explicite (équations, base) du supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$ .

L'objectif

Obtenir une description explicite (équations, base) du supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$ .

Le principe

Par bilinéarité, $x \in F^{\perp}$ si et seulement si $\langle x, f_i \rangle = 0$ pour tout vecteur $f_i$ d'une base de $F$ ; cela fournit un système linéaire homogène.

La méthode

1
Je choisis une base $(f_1,\ldots,f_p)$ de $F$ (pas nécessairement orthonormée).
2
J'écris les $p$ équations $\langle x, f_i \rangle = 0$ en les coordonnées $(x_1,\ldots,x_n)$ de $x$ dans une base de $E$ .
3
Je résous ce système homogène, j'en déduis une base paramétrique de $F^{\perp}$ .
4
Je vérifie $\dim F^{\perp} = n - p$ puis, si nécessaire, j'orthonormalise la base obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, déterminer $F^{\perp}$ pour $F = \mathrm{Vect}((1,1,0))$ .

Étape 1 —

Je choisis une base

(f_1,\ldots,f_p)

F

(pas nécessairement orthonormée).

Je prends $f_1 = (1,1,0)$ comme base de $F$ (dimension $1$ ).

Étape 2 —

J'écris les

p

équations

\langle x, f_i \rangle = 0

en les coordonnées

(x_1,\ldots,x_n)

x

dans une base de

E

$x = (x_1,x_2,x_3) \in F^{\perp}$ ssi $\langle x, f_1 \rangle = x_1 + x_2 = 0$ .

Étape 3 —

Je résous ce système homogène, j'en déduis une base paramétrique de

F^{\perp}

La solution générale est $(x_1, -x_1, x_3)$ , soit $F^{\perp} = \mathrm{Vect}((1,-1,0), (0,0,1))$ .

Étape 4 —

Je vérifie

\dim F^{\perp} = n - p

puis, si nécessaire, j'orthonormalise la base obtenue.

$\dim F^{\perp} = 2 = 3 - 1$ , conforme. Ces deux vecteurs sont orthogonaux.

$F^{\perp} = \mathrm{Vect}((1,-1,0), (0,0,1))$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, déterminer $F^{\perp}$ pour $F = \mathrm{Vect}((1,1,1), (1,0,-1))$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, déterminer $F^{\perp}$ pour $F = \mathrm{Vect}((1,0,1,0), (0,1,0,1))$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire $\langle x, y\rangle = x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + x_3 y_3$ , déterminer $F^{\perp}$ pour $F = \mathrm{Vect}((1,1,0))$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, déterminer $F^\perp$ pour $F = \mathrm{Vect}((1, 2, 0, 1))$ .

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En résolvant le système ⟨x,fi⟩=0\langle x, f_i \rangle = 0⟨x,fi​⟩=0 sur une base de FFF

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En résolvant le système $\langle x, f_i \rangle = 0$ sur une base de $F$