Comment déterminer le supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$ d'un sous-espace $F$ ? | MetMat

Comment déterminer le supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$ d'un sous-espace $F$ ?

En complétant une base orthonormée de $F$ en base orthonormée de $E$

Obtenir une base orthonormée de $F^{\perp}$ à partir d'une base orthonormée de $F$ que l'on complète.

L'objectif

Obtenir une base orthonormée de $F^{\perp}$ à partir d'une base orthonormée de $F$ que l'on complète.

Le principe

Si $(e_1,\ldots,e_k)$ est orthonormée de $F$ et $(e_1,\ldots,e_n)$ base orthonormée de $E$ la prolongeant, alors $(e_{k+1},\ldots,e_n)$ est base orthonormée de $F^{\perp}$ .

La méthode

1
Je construis (ou je dispose d'une) base orthonormée $(e_1,\ldots,e_k)$ de $F$ , par Schmidt si nécessaire.
2
Je complète en base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ (Gram-Schmidt sur une complétion libre arbitraire).
3
J'identifie les vecteurs ajoutés $(e_{k+1},\ldots,e_n)$ comme base orthonormée de $F^{\perp}$ .
4
Je contrôle $\dim F^{\perp} = n - k$ et l'orthogonalité de chaque $e_j$ ( $j > k$ ) à chaque $e_i$ ( $i \leq k$ ).

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, déterminer $F^{\perp}$ pour $F = \mathrm{Vect}((1,0,0))$ par complétion.

Étape 1 —

Je construis (ou je dispose d'une) base orthonormée

(e_1,\ldots,e_k)

F

, par Schmidt si nécessaire.

Base orthonormée de $F$ : $e_1 = (1,0,0)$ .

Étape 2 —

Je complète en base orthonormée

(e_1,\ldots,e_n)

E

(Gram-Schmidt sur une complétion libre arbitraire).

Je complète en base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ : $(e_1, e_2, e_3) = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$ .

Étape 3 —

J'identifie les vecteurs ajoutés

(e_{k+1},\ldots,e_n)

comme base orthonormée de

F^{\perp}

Les vecteurs ajoutés sont $e_2 = (0,1,0)$ et $e_3 = (0,0,1)$ .

Étape 4 —

Je contrôle

\dim F^{\perp} = n - k

et l'orthogonalité de chaque

e_j

(

j > k

) à chaque

e_i

(

i \leq k

$F^{\perp} = \mathrm{Vect}(e_2, e_3)$ , de dimension $2 = 3 - 1$ .

$F^{\perp} = \mathrm{Vect}((0,1,0), (0,0,1))$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, déterminer $F^{\perp}$ pour $F = \mathrm{Vect}((1,1,1))$ par complétion.

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, déterminer $F^{\perp}$ pour $F = \mathrm{Vect}((1,1,0,0), (0,0,1,1))$ par complétion.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soit $F = \mathrm{Vect}(u)$ avec $u = (1, 1, 0)/\sqrt{2}$ . Compléter $(u)$ en base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soit $F = \mathrm{Vect}(u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1,0,0)$ et $u_2 = (0,1,0)$ . Compléter en base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ .

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En complétant une base orthonormée de FFF en base orthonormée de EEE

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En complétant une base orthonormée de $F$ en base orthonormée de $E$