En exploitant la symétrie pour ne vérifier la linéarité que par rapport à une variable

Gagner en efficacité lors de la vérification d'un produit scalaire en combinant symétrie et linéarité par rapport à une seule variable.

L'objectif

Gagner en efficacité lors de la vérification d'un produit scalaire en combinant symétrie et linéarité par rapport à une seule variable.

Le principe

Si $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ est symétrique et linéaire par rapport à la première variable, alors $\varphi$ est automatiquement linéaire par rapport à la seconde ; il reste à vérifier la positivité et le caractère défini.

La méthode

1
Je vérifie la symétrie : pour tous $x, y \in E$ , $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ .
2
Je vérifie la linéarité à gauche uniquement : pour tous $x, x', y \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $\varphi(\lambda x + \mu x', y) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x', y)$ .
3
J'en déduis, par symétrie, la linéarité à droite : $\varphi$ est donc bilinéaire.
4
Je vérifie la positivité $\varphi(x, x) \geq 0$ et le caractère défini $\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E$ .
5
Je conclus que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ .

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Exercice d'exemple

Montrer que $\varphi : ((x_1, x_2), (y_1, y_2)) \mapsto 2 x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie la symétrie : pour tous

x, y \in E

\varphi(x, y) = \varphi(y, x)

Symétrie : en échangeant $x$ et $y$ , $\varphi(y, x) = 2 y_1 x_1 + y_1 x_2 + y_2 x_1 + y_2 x_2 = 2 x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2 = \varphi(x, y)$ .

Étape 2 —

Je vérifie la linéarité à gauche uniquement : pour tous

x, x', y \in E

\lambda, \mu \in \mathbb{R}

\varphi(\lambda x + \mu x', y) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x', y)

Linéarité à gauche : si $x = \lambda u + \mu v$ avec $u = (u_1, u_2)$ , $v = (v_1, v_2)$ , on vérifie terme à terme que $\varphi(\lambda u + \mu v, y) = \lambda \varphi(u, y) + \mu \varphi(v, y)$ .

Étape 3 —

J'en déduis, par symétrie, la linéarité à droite :

\varphi

est donc bilinéaire.

Par symétrie, $\varphi$ est également linéaire par rapport à la seconde variable, donc bilinéaire.

Étape 4 —

Je vérifie la positivité

\varphi(x, x) \geq 0

et le caractère défini

\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E

Positivité : $\varphi(x, x) = 2 x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1 + x_2)^2 \geq 0$ . Caractère défini : si $\varphi(x, x) = 0$ , alors $x_1 = 0$ et $x_1 + x_2 = 0$ , donc $x_1 = x_2 = 0$ .

Étape 5 —

Je conclus que

\varphi

est un produit scalaire sur

E

$\varphi$ est donc un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$ .

$\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Montrer que $\varphi : (P, Q) \mapsto P(0) Q(0) + P(1) Q(1) + P(2) Q(2)$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que $\varphi : (f, g) \mapsto \int_{-1}^{1} f(t) g(t) \mathrm{d}t$ est un produit scalaire sur l'espace $E = \mathcal{C}([-1, 1], \mathbb{R})$ .

Application autonome 2

Montrer que $\varphi \colon ((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) \mapsto x_1 y_1 + 2 x_2 y_2 + 3 x_3 y_3$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Montrer que $\varphi \colon (A, B) \mapsto \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

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