En reconnaissant un produit scalaire connu (canonique, intégral, trace)

L'objectif

Identifier rapidement $\varphi$ comme un produit scalaire classique sans refaire toutes les vérifications.

Le principe

Certains produits scalaires sont classiques et leurs propriétés sont admises au programme : le produit scalaire canonique $\langle X, Y \rangle = {}^t\!X Y$ sur $\mathbb{R}^n$ , le produit scalaire intégral $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t) \mathrm{d}t$ sur un espace de fonctions continues, et $\langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

La méthode

1
J'identifie le contexte : espace vectoriel $E$ (numérique, polynomial, matriciel ou fonctionnel).
2
Je reformule $\varphi$ dans une des formes classiques : somme $\sum x_i y_i$ , intégrale $\int fg$ , ou trace $\mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ .
3
Je cite le résultat du cours correspondant : il s'agit d'un produit scalaire de référence.
4
Je conclus que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ .

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Montrer que $\varphi : (X, Y) \mapsto {}^t\!X Y$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

Application guidée 2

Montrer que $\varphi : (P, Q) \mapsto \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \mathrm{d}t$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_3[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que $\varphi : (A, B) \mapsto \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , sous-espace des matrices symétriques.

Application autonome 2

Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , on définit $\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}({}^t\!A B)$ . Montrer que c'est un produit scalaire.

Application autonome 3

Sur $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ , on pose $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t)\,\mathrm{d}t$ . Montrer que c'est un produit scalaire.

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.