En reconnaissant un produit scalaire connu (canonique, intégral, trace)

Identifier rapidement $\varphi$ comme un produit scalaire classique sans refaire toutes les vérifications.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\varphi : (X, Y) \mapsto {}^t\!X Y$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

L'objectif

Identifier rapidement $\varphi$ comme un produit scalaire classique sans refaire toutes les vérifications.

Le principe

Certains produits scalaires sont classiques et leurs propriétés sont admises au programme : le produit scalaire canonique $\langle X, Y \rangle = {}^t\!X Y$ sur $\mathbb{R}^n$ , le produit scalaire intégral $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t) \mathrm{d}t$ sur un espace de fonctions continues, et $\langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

La méthode

1
J'identifie le contexte : espace vectoriel $E$ (numérique, polynomial, matriciel ou fonctionnel).
2
Je reformule $\varphi$ dans une des formes classiques : somme $\sum x_i y_i$ , intégrale $\int fg$ , ou trace $\mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ .
3
Je cite le résultat du cours correspondant : il s'agit d'un produit scalaire de référence.
4
Je conclus que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ .

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Exercice d'exemple

Montrer que $\varphi : (X, Y) \mapsto {}^t\!X Y$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

Étape 1 —

J'identifie le contexte : espace vectoriel

E

(numérique, polynomial, matriciel ou fonctionnel).

$E = \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ , espace des matrices colonnes à $n$ lignes.

Étape 2 —

Je reformule

\varphi

dans une des formes classiques : somme

\sum x_i y_i

, intégrale

\int fg

, ou trace

\mathrm{Tr}({}^t\!A B)

$\varphi(X, Y) = {}^t\!X Y = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ , qui est exactement la forme du produit scalaire canonique.

Étape 3 —

Je cite le résultat du cours correspondant : il s'agit d'un produit scalaire de référence.

C'est le produit scalaire canonique de $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ , produit scalaire de référence du cours.

Étape 4 —

Je conclus que

\varphi

est un produit scalaire sur

E

Donc $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

$\varphi$ est le produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

Application guidée

Montrer que $\varphi : (P, Q) \mapsto \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \mathrm{d}t$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_3[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que $\varphi : (A, B) \mapsto \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , sous-espace des matrices symétriques.

Application autonome 2

Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , on définit $\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}({}^t\!A B)$ . Montrer que c'est un produit scalaire.

Application autonome 3

Sur $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ , on pose $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t)\,\mathrm{d}t$ . Montrer que c'est un produit scalaire.

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