Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ? | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En imposant la demi-largeur cible de l'IC pour déterminer la taille minimale $n$ d'échantillon

Déterminer la taille minimale $n$ d'un $n$ -échantillon pour qu'un IC via Bienaymé-Tchebychev ait une demi-largeur $\varepsilon$ donnée au niveau $1-\alpha$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour estimer la proportion $p$ d'une loi $\mathcal{B}(p)$ avec une précision $\pm 0{,}01$ au niveau $95\%$ par Bienaymé-Tchebychev, combien de mesures faut-il au minimum ?

L'objectif

Déterminer la taille minimale $n$ d'un $n$ -échantillon pour qu'un IC via Bienaymé-Tchebychev ait une demi-largeur $\varepsilon$ donnée au niveau $1-\alpha$ .

Le principe

L'inégalité $V(T_n)/\varepsilon^2\leq \alpha$ fournie par Bienaymé-Tchebychev impose $n\geq V(X)/(\alpha\varepsilon^2)$ (resp. $n\geq M/(\alpha\varepsilon^2)$ après majoration uniforme de $V$ ).

La méthode

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Je pose la demi-largeur cible $\varepsilon > 0$ et le niveau $1-\alpha$ ; j'identifie $V(T_n)$ ou une borne $V(T_n)\leq M/n$ .
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J'écris Bienaymé-Tchebychev : $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V(T_n)/\varepsilon^2 \leq M/(n\varepsilon^2)$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
J'impose $M/(n\varepsilon^2)\leq \alpha$ , ce qui équivaut à $n\geq M/(\alpha \varepsilon^2)$ .
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Je conclus en prenant la plus petite valeur entière $n \geq \lceil M/(\alpha \varepsilon^2) \rceil$ : tout $n$ -échantillon de cette taille fournit un IC de demi-largeur $\leq \varepsilon$ au niveau $\geq 1-\alpha$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Pour estimer la proportion $p$ d'une loi $\mathcal{B}(p)$ avec une précision $\pm 0{,}01$ au niveau $95\%$ par Bienaymé-Tchebychev, combien de mesures faut-il au minimum ?

Étape 1 —

Je pose la demi-largeur cible

\varepsilon > 0

et le niveau

1-\alpha

; j'identifie

V(T_n)

ou une borne

V(T_n)\leq M/n

Demi-largeur cible $\varepsilon = 0{,}01$ , niveau $1-\alpha = 0{,}95$ soit $\alpha = 0{,}05$ ; majorant $M = 1/4$ via $p(1-p)\leq 1/4$ .

Étape 2 —

J'écris Bienaymé-Tchebychev :

P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V(T_n)/\varepsilon^2 \leq M/(n\varepsilon^2)

Bienaymé-Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - p|\geq 0{,}01)\leq 1/(4n\cdot 0{,}01^2) = 1/(4n\cdot 10^{-4})$ .

Étape 3 —

J'impose

M/(n\varepsilon^2)\leq \alpha

, ce qui équivaut à

n\geq M/(\alpha \varepsilon^2)

On impose $1/(4n\cdot 10^{-4})\leq 0{,}05$ , soit $n\geq 1/(4\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}05) = 50\,000$ .

Étape 4 —

Je conclus en prenant la plus petite valeur entière

n \geq \lceil M/(\alpha \varepsilon^2) \rceil

: tout

n

-échantillon de cette taille fournit un IC de demi-largeur

\leq \varepsilon

au niveau

\geq 1-\alpha

Un échantillon de taille $n \geq 50\,000$ garantit un IC de demi-largeur $\leq 0{,}01$ au niveau $95\%$ via Bienaymé-Tchebychev.

$n\geq 50\,000$ suffit (méthode Bienaymé-Tchebychev, très conservatrice).

Application guidée

Pour estimer la moyenne $m$ d'une loi de variance $\sigma^2 = 9$ connue avec précision $\pm 0{,}5$ au niveau $99\%$ , combien de mesures faut-il au minimum par Bienaymé-Tchebychev ?

Application autonome 1

On dispose de $n = 400$ observations $\mathcal{B}(p)$ . Quelle demi-largeur $\varepsilon$ obtient-on pour l'IC de $p$ au niveau $95\%$ via Bienaymé-Tchebychev ?

Application autonome 2

Pour estimer la moyenne $m$ d'une loi de variance $\sigma^2 = 4$ connue avec précision $\pm 0{,}2$ au niveau $90\%$ , combien de mesures faut-il par Bienaymé-Tchebychev ?

Application autonome 3

Pour estimer $p$ d'une $\mathcal{B}(p)$ avec précision $\pm 0{,}05$ au niveau $98\%$ par Tchebychev, déterminer la taille minimale $n$ (majorer $p(1-p) \leq 1/4$ ).

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En imposant la demi-largeur cible de l'IC pour déterminer la taille minimale nnn d'échantillon

Pour comprendre, fais des exercices !

En imposant la demi-largeur cible de l'IC pour déterminer la taille minimale $n$ d'échantillon