Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ? | MetMat

Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)$

Appliquer Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour en déduire sa convergence en probabilité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ . Utiliser Bienaymé-Tchebychev pour prouver $\overline{X}_n \xrightarrow{P} p$ et préciser la vitesse.

L'objectif

Appliquer Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour en déduire sa convergence en probabilité.

Le principe

Si $T_n$ est sans biais pour $g(\theta)$ et admet une variance, Bienaymé-Tchebychev donne $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V(T_n)/\varepsilon^2$ , qui tend vers $0$ dès que $V(T_n)\to 0$ .

La méthode

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Je vérifie les hypothèses : $T_n$ admet une espérance et une variance finies sous $P_\theta$ , et $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ .
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J'applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $T_n$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , $P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
Je montre que $V_\theta(T_n)\xrightarrow[n\to +\infty]{} 0$ (en général $V(T_n) = c(\theta)/n$ pour des moyennes empiriques).
4
Je conclus par encadrement : $\lim_{n\to+\infty} P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = 0$ , donc $T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ . Utiliser Bienaymé-Tchebychev pour prouver $\overline{X}_n \xrightarrow{P} p$ et préciser la vitesse.

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

T_n

admet une espérance et une variance finies sous

P_\theta

, et

E_\theta(T_n) = g(\theta)

$\overline{X}_n$ admet variance et espérance finies ; $E(\overline{X}_n) = p$ (sans biais).

Étape 2 —

J'applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à

T_n

: pour tout

\varepsilon > 0

P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2

Bienaymé-Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon) \leq V(\overline{X}_n)/\varepsilon^2 = p(1-p)/(n\varepsilon^2)\leq 1/(4n\varepsilon^2)$ .

Étape 3 —

Je montre que

V_\theta(T_n)\xrightarrow[n\to +\infty]{} 0

(en général

V(T_n) = c(\theta)/n

pour des moyennes empiriques).

$V(\overline{X}_n) = p(1-p)/n \to 0$ quand $n\to +\infty$ .

Étape 4 —

Je conclus par encadrement :

\lim_{n\to+\infty} P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = 0

, donc

T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)

$P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\to 0$ donc $\overline{X}_n\xrightarrow{P} p$ ; la vitesse est $1/n$ .

$\overline{X}_n \xrightarrow{P} p$ avec vitesse en $1/n$ par Bienaymé-Tchebychev.

Application guidée

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{E}(\lambda)$ . Montrer que $T_n = \overline{X}_n$ converge en probabilité vers $1/\lambda$ par Bienaymé-Tchebychev.

Application autonome 1

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi admettant une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ finies. Montrer la loi faible des grands nombres : $\overline{X}_n \xrightarrow{P} m$ .

Application autonome 2

Soit $T_n$ un estimateur sans biais de $\theta$ tel que $V_\theta(T_n) = \dfrac{\theta^2}{n}$ . Majorer $P_\theta(|T_n - \theta| \geq 0{,}1\,\theta)$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev.

Application autonome 3

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ . L'estimateur $\bar{X}_n$ est sans biais pour $\lambda$ de variance $\lambda/n$ . Déterminer une valeur de $n$ garantissant $P_\lambda(|\bar{X}_n - \lambda| \geq 0{,}2) \leq 0{,}05$ pour $\lambda \leq 5$ .

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En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer P(∣Tn−g(θ)∣≥ε)P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)P(∣Tn​−g(θ)∣≥ε)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)$