Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ? | MetMat

Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ?

En appliquant l'inégalité de Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ pour contrôler un estimateur biaisé

Établir la convergence en probabilité d'un estimateur biaisé en appliquant Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ . On pose $T_n = \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n X_i$ . Montrer que $T_n$ est un estimateur biaisé convergent de $p$ .

L'objectif

Établir la convergence en probabilité d'un estimateur biaisé en appliquant Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ .

Le principe

Pour $Y = (T_n - g(\theta))^2 \geq 0$ d'espérance $V(T_n) + (E(T_n)-g(\theta))^2$ , Markov donne $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = P(Y\geq \varepsilon^2)\leq (V(T_n) + (E(T_n)-g(\theta))^2)/\varepsilon^2$ .

La méthode

1
Je vérifie que $T_n$ admet une espérance et une variance, je calcule $E_\theta(T_n)$ et je pose le biais $b_n(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ .
2
Je pose $Y_n = (T_n - g(\theta))^2 \geq 0$ d'espérance $E(Y_n) = V_\theta(T_n) + b_n(\theta)^2$ (décomposition biais-variance).
3
J'applique Markov à $Y_n$ : $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = P(Y_n \geq \varepsilon^2)\leq E(Y_n)/\varepsilon^2 = (V_\theta(T_n) + b_n(\theta)^2)/\varepsilon^2$ .
4
Je conclus : si $V_\theta(T_n)\to 0$ et $b_n(\theta)\to 0$ , alors $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \to 0$ pour tout $\varepsilon > 0$ , donc $T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ . On pose $T_n = \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n X_i$ . Montrer que $T_n$ est un estimateur biaisé convergent de $p$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

T_n

admet une espérance et une variance, je calcule

E_\theta(T_n)

et je pose le biais

b_n(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)

$E(T_n) = \frac{n}{n+1}p$ , donc biais $b_n(p) = E(T_n) - p = -\frac{p}{n+1}\to 0$ .

Étape 2 —

Je pose

Y_n = (T_n - g(\theta))^2 \geq 0

d'espérance

E(Y_n) = V_\theta(T_n) + b_n(\theta)^2

(décomposition biais-variance).

$Y_n = (T_n - p)^2 \geq 0$ avec $E(Y_n) = V(T_n) + b_n(p)^2 = \frac{n p(1-p)}{(n+1)^2} + \frac{p^2}{(n+1)^2}$ .

Étape 3 —

J'applique Markov à

Y_n

P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = P(Y_n \geq \varepsilon^2)\leq E(Y_n)/\varepsilon^2 = (V_\theta(T_n) + b_n(\theta)^2)/\varepsilon^2

Markov : $P(|T_n - p|\geq \varepsilon) \leq E(Y_n)/\varepsilon^2 = \frac{n p(1-p) + p^2}{(n+1)^2\varepsilon^2}$ .

Étape 4 —

Je conclus : si

V_\theta(T_n)\to 0

b_n(\theta)\to 0

, alors

P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \to 0

pour tout

\varepsilon > 0

, donc

T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)

Le numérateur est $O(n)$ et le dénominateur en $n^2$ , donc le majorant tend vers $0$ , d'où $T_n \xrightarrow{P} p$ .

$T_n = \frac{1}{n+1}\sum X_i$ est un estimateur biaisé convergent de $p$ via Markov sur $(T_n-p)^2$ .

Application guidée

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ . On pose $T_n = \overline{X}_n + 1/n$ . Montrer que $T_n$ est un estimateur biaisé convergent de $m$ .

Application autonome 1

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0,\theta])$ . On pose $T_n = \frac{2n+1}{n}\overline{X}_n$ . Montrer que $T_n$ est convergent pour $\theta$ .

Application autonome 2

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ . On pose $T_n = \overline{X}_n + 1/\sqrt{n}$ . Montrer que $T_n$ est convergent pour $\lambda$ .

Application autonome 3

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . On pose $T_n = \dfrac{1}{n+2}\sum_{i=1}^n X_i$ . Montrer que $T_n$ est un estimateur biaisé convergent de $1/\lambda$ .

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En appliquant l'inégalité de Markov à (Tn−g(θ))2(T_n - g(\theta))^2(Tn​−g(θ))2 pour contrôler un estimateur biaisé

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En appliquant l'inégalité de Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ pour contrôler un estimateur biaisé