Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ?

En vérifiant que $T_n$ est sans biais et que $V(T_n)\to 0$ pour appliquer Bienaymé-Tchebychev

Démontrer qu'un estimateur sans biais de variance tendant vers $0$ converge en probabilité vers le paramètre $g(\theta)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ . Montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $p$ .

L'objectif

Démontrer qu'un estimateur sans biais de variance tendant vers $0$ converge en probabilité vers le paramètre $g(\theta)$ .

Le principe

Si $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ pour tout $n$ , alors Bienaymé-Tchebychev donne $P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2$ , qui tend vers $0$ dès que $V_\theta(T_n)\to 0$ .

La méthode

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Je vérifie que $T_n$ admet une espérance et une variance finies sous $P_\theta$ , et je calcule $E_\theta(T_n)$ pour constater $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ (absence de biais).
2
Je calcule $V_\theta(T_n)$ et je montre $\lim_{n\to +\infty} V_\theta(T_n) = 0$ , pour tout $\theta$ .
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J'applique Bienaymé-Tchebychev : $\forall \varepsilon > 0,\; P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
4
Je conclus par encadrement : $P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\to 0$ , donc $T_n \xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ : l'estimateur est convergent.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ . Montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $p$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

T_n

admet une espérance et une variance finies sous

P_\theta

, et je calcule

E_\theta(T_n)

pour constater

E_\theta(T_n) = g(\theta)

(absence de biais).

$\overline{X}_n$ admet une espérance et une variance finies car les $X_i$ sont bornés ; $E(\overline{X}_n) = p$ par linéarité, donc $\overline{X}_n$ est sans biais.

Étape 2 —

Je calcule

V_\theta(T_n)

et je montre

\lim_{n\to +\infty} V_\theta(T_n) = 0

, pour tout

\theta

$V(\overline{X}_n) = p(1-p)/n \leq 1/(4n)\xrightarrow[n\to +\infty]{} 0$ .

Étape 3 —

J'applique Bienaymé-Tchebychev :

\forall \varepsilon > 0,\; P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2

Bienaymé-Tchebychev : $\forall \varepsilon >0,\; P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .

Étape 4 —

Je conclus par encadrement :

P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\to 0

, donc

T_n \xrightarrow{P_\theta} g(\theta)

: l'estimateur est convergent.

Par encadrement, $P(|\overline{X}_n - p|\geq \varepsilon)\to 0$ , donc $\overline{X}_n \xrightarrow{P} p$ : estimateur convergent.

$\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $p$ .

Application guidée

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. $\mathcal{E}(\lambda)$ . Montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $1/\lambda$ .

Application autonome 1

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ avec $\sigma$ connu. Montrer que $\widetilde{S}_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \overline{X}_n)^2$ est convergent pour $\sigma^2$ (résultat admis : $V(\widetilde{S}_n^2)\to 0$ ).

Application autonome 2

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ . Montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $\lambda$ .

Application autonome 3

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{U}([0,1])$ . Montrer que $T_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$ est un estimateur convergent de $1/3$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que TnT_nTn​ est sans biais et que V(Tn)→0V(T_n)\to 0V(Tn​)→0 pour appliquer Bienaymé-Tchebychev

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $T_n$ est sans biais et que $V(T_n)\to 0$ pour appliquer Bienaymé-Tchebychev