Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?

En exhibant le biais $b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ puis en corrigeant par un facteur multiplicatif

Construire un estimateur sans biais à partir d'un estimateur biaisé en corrigeant par une constante calculable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi de variance $\sigma^2$ et d'espérance $m$ . Montrer que la variance empirique $S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2$ est biaisée pour $\sigma^2$ et en déduire un estimateur sans biais.

L'objectif

Construire un estimateur sans biais à partir d'un estimateur biaisé en corrigeant par une constante calculable.

Le principe

Si un estimateur $T_n$ vérifie $E_\theta(T_n) = c(n) \cdot g(\theta)$ avec $c(n)$ indépendant de $\theta$ et $c(n) \neq 0$ , alors $T_n' = T_n / c(n)$ satisfait $E_\theta(T_n') = g(\theta)$ et est sans biais.

La méthode

1
Je calcule $E_\theta(T_n)$ par linéarité et par les propriétés des $X_i$ (espérance, variance, indépendance).
2
J'écris $E_\theta(T_n)$ sous la forme $c(n) \cdot g(\theta)$ où $c(n)$ ne dépend pas de $\theta$ , et j'identifie le biais $b(\theta) = (c(n) - 1) \cdot g(\theta)$ .
3
Je pose $T_n' = T_n / c(n)$ (si $c(n) \neq 0$ ) et je vérifie $E_\theta(T_n') = g(\theta)$ .
4
Je conclus que $T_n'$ est un estimateur sans biais de $g(\theta)$ , déduit de $T_n$ par correction multiplicative.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je calcule

E_\theta(T_n)

par linéarité et par les propriétés des

X_i

(espérance, variance, indépendance).

On admet (résultat du cours) $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n} \sigma^2$ , calculé par linéarité et en utilisant $E(X_i^2) = \sigma^2 + m^2$ , $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ .

Étape 2 —

J'écris

E_\theta(T_n)

sous la forme

c(n) \cdot g(\theta)

où

c(n)

ne dépend pas de

\theta

, et j'identifie le biais

b(\theta) = (c(n) - 1) \cdot g(\theta)

Ainsi $E(S_n^2) = c(n) \sigma^2$ avec $c(n) = (n-1)/n$ ; le biais vaut $b(\sigma^2) = (c(n) - 1) \sigma^2 = -\sigma^2/n \neq 0$ .

Étape 3 —

Je pose

T_n' = T_n / c(n)

(si

c(n) \neq 0

) et je vérifie

E_\theta(T_n') = g(\theta)

On pose $S_n^{*2} = S_n^2 / c(n) = \frac{n}{n-1} S_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2$ et on a $E(S_n^{*2}) = \sigma^2$ .

Étape 4 —

Je conclus que

T_n'

est un estimateur sans biais de

g(\theta)

, déduit de

T_n

par correction multiplicative.

Donc $S_n^{*2}$ est un estimateur sans biais de $\sigma^2$ , appelé variance empirique corrigée.

$S_n^{*2} = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \overline{X}_n)^2$ est sans biais.

Application guidée

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{U}([0, \theta])$ . On pose $T_n = \max(X_1, \dots, X_n)$ avec $E_\theta(T_n) = \frac{n}{n+1} \theta$ . Construire un estimateur sans biais de $\theta$ .

Application autonome 1

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . On propose $T_n = \frac{1}{\overline{X}_n}$ comme estimateur de $\lambda$ . Une étude plus fine montre que $E_\lambda(T_n) = \frac{n}{n-1} \lambda$ (pour $n \geq 2$ ). En déduire un estimateur sans biais.

Application autonome 2

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ . On pose $T_n = \overline{X}_n \cdot (1 - \overline{X}_n)$ . On admet $E_p(T_n) = \dfrac{n-1}{n} p(1-p)$ . Construire un estimateur sans biais de $p(1-p)$ .

Application autonome 3

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{U}([0, \theta])$ avec $\theta > 0$ . Soit $T_n = \min(X_1, \dots, X_n)$ avec $E_\theta(T_n) = \dfrac{\theta}{n+1}$ . Construire un estimateur sans biais de $\theta$ .

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Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ? | MetMat

En exhibant le biais b(θ)=Eθ(Tn)−g(θ)b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)b(θ)=Eθ​(Tn​)−g(θ) puis en corrigeant par un facteur multiplicatif

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant le biais $b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ puis en corrigeant par un facteur multiplicatif