Comment calculer l'estimation $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ obtenue à partir d'un échantillon observé ? | MetMat

Comment calculer l'estimation $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ obtenue à partir d'un échantillon observé ?

En substituant la réalisation observée $(x_1, \dots, x_n)$ dans la fonction $\varphi$

Fournir la valeur numérique de l'estimation associée à un échantillon observé donné.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un sondage de $n = 1000$ personnes, $430$ déclarent voter pour un candidat $A$ . Donner l'estimation de la proportion $p$ via $T_n = \overline{X}_n$ .

L'objectif

Fournir la valeur numérique de l'estimation associée à un échantillon observé donné.

Le principe

Un estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ est une variable aléatoire ; une réalisation $(x_1, \dots, x_n)$ produit une estimation (nombre réel) $\widehat{g(\theta)} = \varphi(x_1, \dots, x_n)$ .

La méthode

1
Je rappelle l'expression de l'estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ et je m'assure de bien distinguer variables $X_i$ et réalisations $x_i$ .
2
Je lis dans l'énoncé les valeurs observées $x_1, \dots, x_n$ et je calcule les statistiques intermédiaires nécessaires (somme, moyenne, somme de carrés).
3
Je substitue ces valeurs dans $\varphi$ et je calcule numériquement $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ .
4
Je conclus en donnant l'estimation ponctuelle $\widehat{g(\theta)} = \varphi(x_1, \dots, x_n)$ avec sa signification concrète.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans un sondage de $n = 1000$ personnes, $430$ déclarent voter pour un candidat $A$ . Donner l'estimation de la proportion $p$ via $T_n = \overline{X}_n$ .

Étape 1 —

Je rappelle l'expression de l'estimateur

T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)

et je m'assure de bien distinguer variables

X_i

et réalisations

x_i

L'estimateur est la fréquence empirique $T_n = \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ , avec $X_i = 1$ si la $i$ -ème personne vote $A$ , $0$ sinon.

Étape 2 —

Je lis dans l'énoncé les valeurs observées

x_1, \dots, x_n

et je calcule les statistiques intermédiaires nécessaires (somme, moyenne, somme de carrés).

La réalisation observée donne $\sum_{i=1}^{1000} x_i = 430$ (nombre de votes pour $A$ ).

Étape 3 —

Je substitue ces valeurs dans

\varphi

et je calcule numériquement

\varphi(x_1, \dots, x_n)

Je substitue : $\overline{x}_n = 430 / 1000 = 0{,}43$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant l'estimation ponctuelle

\widehat{g(\theta)} = \varphi(x_1, \dots, x_n)

avec sa signification concrète.

L'estimation ponctuelle de $p$ est $\widehat{p} = 0{,}43$ , soit $43\%$ d'intention de vote pour $A$ .

$\widehat{p} = 0{,}43$ .

Application guidée

On a mesuré $5$ fois la longueur d'une pièce et obtenu $x_1 = 10{,}2$ , $x_2 = 10{,}1$ , $x_3 = 10{,}3$ , $x_4 = 10{,}0$ , $x_5 = 10{,}4$ (en cm). Donner l'estimation de la longueur moyenne $m$ via $T_n = \overline{X}_n$ .

Application autonome 1

Pour un échantillon de $n = 4$ durées d'attente $(x_1, x_2, x_3, x_4) = (2, 3, 5, 2)$ (en minutes) d'une loi $\mathcal{E}(\lambda)$ , donner l'estimation de $\lambda$ via $T_n = 1/\overline{X}_n$ .

Application autonome 2

On observe $n = 6$ temps de désintégration $(x_1, \dots, x_6) = (1{,}2 ; 0{,}8 ; 1{,}5 ; 0{,}9 ; 1{,}1 ; 1{,}0)$ (en secondes) d'une loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Donner une estimation ponctuelle de $\lambda$ .

Application autonome 3

On observe sur $n = 8$ jours le nombre de pannes journalières : $(x_1, \dots, x_8) = (2, 3, 1, 4, 2, 3, 0, 1)$ , supposé de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ . Donner une estimation ponctuelle de $\lambda$ .

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En substituant la réalisation observée (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n)(x1​,…,xn​) dans la fonction φ\varphiφ

Pour comprendre, fais des exercices !

En substituant la réalisation observée $(x_1, \dots, x_n)$ dans la fonction $\varphi$