Comment construire un estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ d'un paramètre $g(\theta)$ ?

En choisissant une statistique naturelle : moyenne empirique, fréquence, variance empirique

L'objectif

Fournir un estimateur simple, interprétable et justifié heuristiquement d'un paramètre inconnu.

Le principe

Pour estimer $E(X) = m$ , on choisit $\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ; pour $p = P(X = 1)$ , la fréquence empirique $\overline{X}_n$ ; pour $\sigma^2 = V(X)$ , la variance empirique $S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2$ ; ces statistiques sont fonctions de l'échantillon et indépendantes du paramètre inconnu.

La méthode

1
J'identifie le paramètre $g(\theta)$ à estimer et je l'interprète en termes de moment (espérance, variance, proportion).
2
Je choisis l'analogue empirique de ce moment comme statistique $\varphi(X_1, \dots, X_n)$ , en m'assurant que $\varphi$ ne dépend pas de $\theta$ .
3
Je vérifie que $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ est bien défini et fonction uniquement des $X_i$ (et éventuellement de $n$ ).
4
Je pose $T_n$ comme estimateur de $g(\theta)$ et j'explicite l'heuristique (loi des grands nombres, analogie empirique/théorique).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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