En comparant les demi-largeurs de deux intervalles de confiance au même niveau $1-\alpha$

Arbitrer entre deux intervalles de confiance du même paramètre $g(\theta)$ en comparant leur demi-largeur au niveau $1-\alpha$ fixé.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour un $n$ -échantillon i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ , comparer la demi-largeur de l'IC de Bienaymé-Tchebychev $\ell_{BT}= \dfrac{1}{2\sqrt{n\alpha}}$ et celle de l'IC asymptotique TLC $\ell_{TLC}= \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{2\sqrt{n}}$ au niveau $95\%$ .

L'objectif

Arbitrer entre deux intervalles de confiance du même paramètre $g(\theta)$ en comparant leur demi-largeur au niveau $1-\alpha$ fixé.

Le principe

À niveau de confiance égal, l'IC le plus précis est celui de plus petite demi-largeur : sa réalisation localise mieux $g(\theta)$ .

La méthode

1
Je fixe le niveau de confiance commun $1-\alpha$ et je m'assure que les deux IC sont construits à partir du même échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ .
2
Je lis la demi-largeur $\ell_i$ de chaque IC sous la forme $[T_n - \ell_i,\; T_n + \ell_i]$ (ou $[L_i, U_i]$ avec $\ell_i = (U_i - L_i)/2$ ).
3
Je compare $\ell_1$ et $\ell_2$ : l'IC de plus petite demi-largeur est plus précis à ce niveau.
4
Je conclus en précisant la limite de la comparaison : un IC est asymptotique tandis que l'autre peut être exact (ou plus conservateur), ce qui impose de vérifier les hypothèses avant d'utiliser l'IC plus étroit.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je fixe le niveau de confiance commun

1-\alpha

et je m'assure que les deux IC sont construits à partir du même échantillon

(X_1,\dots,X_n)

On fixe $\alpha = 0{,}05$ et un même échantillon $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ .

Étape 2 —

Je lis la demi-largeur

\ell_i

de chaque IC sous la forme

[T_n - \ell_i,\; T_n + \ell_i]

(ou

[L_i, U_i]

avec

\ell_i = (U_i - L_i)/2

On lit $\ell_{BT} = \dfrac{1}{2\sqrt{0{,}05 n}}= \dfrac{1}{2\sqrt{n}\cdot \sqrt{0{,}05}}= \dfrac{\sqrt{20}}{2\sqrt{n}}\approx \dfrac{4{,}472}{2\sqrt{n}}$ et $\ell_{TLC}= \dfrac{1{,}96}{2\sqrt{n}}$ .

Étape 3 —

Je compare

\ell_1

\ell_2

: l'IC de plus petite demi-largeur est plus précis à ce niveau.

Le rapport $\ell_{BT}/\ell_{TLC} \approx 4{,}472/1{,}96 \approx 2{,}28$ ; plus généralement $\ell_{BT}/\ell_{TLC} = 1/(\sqrt{\alpha}\cdot u_{1-\alpha/2})$ est toujours $\geq 1$ .

Étape 4 —

Je conclus en précisant la limite de la comparaison : un IC est asymptotique tandis que l'autre peut être exact (ou plus conservateur), ce qui impose de vérifier les hypothèses avant d'utiliser l'IC plus étroit.

L'IC asymptotique via le TLC est plus étroit, mais ne garantit le niveau qu'asymptotiquement ; l'IC de Bienaymé-Tchebychev est plus large mais valide pour tout $n\geq 1$ .

IC asymptotique TLC plus précis ( $\ell_{TLC}\approx 0{,}44\ell_{BT}$ ), mais seulement asymptotiquement valide ; IC Bienaymé-Tchebychev plus large mais non asymptotique.

Application guidée

Pour un $n$ -échantillon i.i.d. $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ avec $\sigma$ connu, comparer la demi-largeur de l'IC exact $\ell_{\mathrm{exact}} = u_{1-\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}$ et de l'IC de Bienaymé-Tchebychev $\ell_{BT}= \sigma/\sqrt{n\alpha}$ au niveau $95\%$ .

Application autonome 1

Au niveau $95\%$ , on a deux IC pour $g(\theta)$ de demi-largeurs $\ell_1 = c_1/\sqrt{n}$ et $\ell_2 = c_2/\sqrt{n}$ . Déterminer le gain de taille d'échantillon équivalent quand $c_1 = 2\cdot c_2$ .

Application autonome 2

Pour un $n$ -échantillon i.i.d. $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda \leq M$ connu, comparer la demi-largeur de l'IC de Bienaymé-Tchebychev $\ell_{BT} = \sqrt{M/(n \alpha)}$ à celle de l'IC TLC $\ell_{TCL} = u_{1-\alpha/2} \sqrt{\overline{X}_n/n}$ au niveau $95\%$ avec $\overline{X}_n = M = 4$ .

Application autonome 3

Au niveau $99\%$ , on dispose de deux IC pour $m$ de demi-largeurs $\ell_1 = \sigma \sqrt{1/(n \alpha)}$ (Bienaymé-Tchebychev) et $\ell_2 = u_{1-\alpha/2} \sigma / \sqrt{n}$ (TLC). Déterminer le rapport $\ell_1/\ell_2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En comparant les demi-largeurs de deux intervalles de confiance au même niveau 1−α1-\alpha1−α

Pour comprendre, fais des exercices !

En comparant les demi-largeurs de deux intervalles de confiance au même niveau $1-\alpha$