Comment définir et reconnaître un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ associé à une variable $X$ ?

En vérifiant que les $X_i$ sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que $X$

L'objectif

Justifier rigoureusement qu'une famille $(X_1, \dots, X_n)$ donnée est un $n$ -échantillon associé à la variable $X$ .

Le principe

Un $n$ -échantillon de la variable $X$ est, par définition, une famille $(X_1, \dots, X_n)$ de variables aléatoires mutuellement indépendantes et toutes de même loi que $X$ ; sous un modèle paramétrique $(P_\theta)_\theta$ , l'indépendance doit être $P_\theta$ -indépendance pour tout $\theta$ .

La méthode

1
J'identifie la variable de référence $X$ (loi, paramètre inconnu $\theta$ éventuel) et le contexte expérimental (tirages répétés, mesures successives, sondage).
2
Je vérifie que toutes les $X_i$ ont la même loi que $X$ : je montre que chaque $X_i$ suit la loi de $X$ (souvent évident si chaque $X_i$ modélise la même expérience répétée à l'identique).
3
Je vérifie l'indépendance mutuelle des $X_i$ (sous $P_\theta$ pour tout $\theta$ dans le cadre paramétrique), en invoquant l'indépendance des expériences ou l'hypothèse de l'énoncé.
4
Je conclus que $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de la variable $X$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En vérifiant que les XiX_iXi​ sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que XXX

Exemple corrigé

En vérifiant que les $X_i$ sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que $X$