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Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans N\mathbb{N} via P(Xn=k)→P(X=k)P(X_n=k) \to P(X=k) ?

En appliquant la caractérisation du cours : Xn,X∈N⇒Xn→LXX_n, X \in \mathbb{N} \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X ssi ∀k,P(Xn=k)→P(X=k)\forall k, P(X_n=k) \to P(X=k)

L'objectif

Démontrer la convergence en loi de suites de variables à valeurs dans N\mathbb{N} en comparant les probabilités ponctuelles.

Le principe

Résultat admis : si (Xn)(X_n) et XX sont à valeurs dans N\mathbb{N}, alors Xn→LXX_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X si et seulement si ∀k∈N,P(Xn=k)→P(X=k)\forall k \in \mathbb{N}, P(X_n = k) \to P(X = k) ; cette caractérisation évite le passage par les fonctions de répartition.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que les XnX_n et XX sont bien à valeurs dans N\mathbb{N} et j'identifie la loi de XX ainsi que la famille des P(X=k)P(X = k).
  2. 2
    Je fixe k∈Nk \in \mathbb{N} quelconque et j'écris explicitement P(Xn=k)P(X_n = k) à partir de la loi de XnX_n.
  3. 3
    J'étudie la limite de P(Xn=k)P(X_n = k) quand n→+∞n \to +\infty et je montre qu'elle vaut P(X=k)P(X = k).
  4. 4
    Par la caractérisation, Xn→LXX_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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