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Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans N\mathbb{N} via P(Xn=k)→P(X=k)P(X_n=k) \to P(X=k) ?

En l'utilisant pour l'approximation Binomiale-Poisson : Xn∼B(n,pn)X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n), npn→λnp_n \to \lambda, alors Xn→LP(λ)X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)

L'objectif

Approximer une loi B(n,pn)\mathcal{B}(n, p_n) par une loi de Poisson P(λ)\mathcal{P}(\lambda) lorsque nn est grand, pnp_n petit et npn→λ>0np_n \to \lambda > 0.

Le principe

Théorème (approximation Binomiale-Poisson) : si Xn∼B(n,pn)X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n) et npn→n→+∞λ>0n p_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda > 0, alors Xn→LP(λ)X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda) ; la preuve repose sur la caractérisation P(Xn=k)→P(X=k)P(X_n = k) \to P(X = k) pour tout k∈Nk \in \mathbb{N}.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que Xn∼B(n,pn)X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n) et que npn→λ>0n p_n \to \lambda > 0, et je pose λn=npn\lambda_n = n p_n.
  2. 2
    Pour k∈Nk \in \mathbb{N} fixé et n≥kn \geq k, j'écris P(Xn=k)=(nk)pnk(1−pn)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)k!(λnn)k(1−λnn)n−kP(X_n = k) = \binom{n}{k} p_n^k (1 - p_n)^{n-k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \Big(\dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^k \Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^{n-k}.
  3. 3
    Je passe à la limite : n(n−1)⋯(n−k+1)nk→1\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \to 1, (1−λnn)n→e−λ\Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^n \to e^{-\lambda} et (1−λnn)−k→1\Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^{-k} \to 1, d'où P(Xn=k)→λkk!e−λ=P(Y=k)P(X_n = k) \to \dfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = P(Y = k) avec Y∼P(λ)Y \sim \mathcal{P}(\lambda).
  4. 4
    Par la caractérisation de la convergence en loi sur N\mathbb{N}, Xn→LP(λ)X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda) ; en pratique, on approche B(n,p)≈P(np)\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{P}(np) lorsque n≥30n \geq 30 et p≤0,1p \leq 0{,}1.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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