Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ?

En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL, $(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ )

Conclure à la convergence en loi en ramenant la limite de $F_{X_n}(x)$ à une limite classique (exponentielle, équivalent, DL).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X_n \sim \mathcal{G}(\lambda/n)$ (loi géométrique) avec $\lambda > 0$ fixé. Montrer que $X_n/n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(\lambda)$ .

L'objectif

Conclure à la convergence en loi en ramenant la limite de $F_{X_n}(x)$ à une limite classique (exponentielle, équivalent, DL).

Le principe

Les passages à la limite classiques — $(1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ , $\ln(1 + u) \sim u$ pour $u \to 0$ , les DL usuels — permettent d'identifier rapidement la limite de $F_{X_n}(x)$ à une FdR connue.

La méthode

1
Je fixe $x$ point de continuité de la FdR limite $F_X$ et j'écris explicitement $F_{X_n}(x)$ à partir de la loi de $X_n$ .
2
Je reconnais dans $F_{X_n}(x)$ une expression du type $(1 + a_n)^n$ , $\ln(1 + b_n)$ ou un équivalent, puis j'applique le passage classique correspondant.
3
Je conclus que la limite obtenue coïncide avec $F_X(x)$ , et j'en déduis $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ par définition.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X_n \sim \mathcal{G}(\lambda/n)$ (loi géométrique) avec $\lambda > 0$ fixé. Montrer que $X_n/n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(\lambda)$ .

Étape 1 —

Je fixe

x

point de continuité de la FdR limite

F_X

et j'écris explicitement

F_{X_n}(x)

à partir de la loi de

X_n

Je cherche la limite $\mathcal{E}(\lambda)$ , FdR $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ ; je pose $Z_n = X_n/n$ et fixe $x > 0$ point de continuité.

Étape 2 —

Je reconnais dans

F_{X_n}(x)

une expression du type

(1 + a_n)^n

\ln(1 + b_n)

ou un équivalent, puis j'applique le passage classique correspondant.

$P(X_n > k) = (1 - \lambda/n)^k$ pour $k \in \mathbb{N}$ ; donc $F_{Z_n}(x) = P(X_n \leq nx) = 1 - P(X_n > \lfloor nx \rfloor) = 1 - (1 - \lambda/n)^{\lfloor nx \rfloor}$ .

Étape 3 —

Je conclus que la limite obtenue coïncide avec

F_X(x)

, et j'en déduis

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X

par définition.

Par $(1 - \lambda/n)^{nx} \to e^{-\lambda x}$ et $\lfloor nx \rfloor / n \to x$ , $F_{Z_n}(x) \to 1 - e^{-\lambda x} = F_X(x)$ , donc $X_n/n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(\lambda)$ .

$X_n/n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(\lambda)$ .

Application guidée

Soit $U_1, \dots, U_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0,1])$ et $m_n = \min(U_1, \dots, U_n)$ . Montrer que $n\, m_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(1)$ .

Application autonome 1

Soit $X_n \sim \mathcal{E}(\lambda_n)$ avec $\lambda_n \to \lambda > 0$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(\lambda)$ via un DL.

Application autonome 2

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, \lambda/n)$ avec $\lambda > 0$ fixé. Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ via la fonction génératrice ou les probabilités ponctuelles.

Application autonome 3

Soit $X_n$ de fonction de répartition $F_n(x) = 1 - \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^{\lfloor nx \rfloor}$ pour $x \geq 0$ et $F_n(x) = 0$ pour $x < 0$ . Étudier la convergence en loi de $X_n$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL, (1−λ/n)n→e−λ(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}(1−λ/n)n→e−λ)

Pour comprendre, fais des exercices !

En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL, $(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ )