En appliquant $X_n \xrightarrow{P} X$ , $Y_n \xrightarrow{P} Y \Rightarrow X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y$

Conclure à la convergence en probabilité de la somme de deux suites à partir des convergences individuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)$ et $(Y_i)$ deux suites indépendantes i.i.d. avec $E(X_1) = a$ , $V(X_1) < +\infty$ , $E(Y_1) = b$ , $V(Y_1) < +\infty$ . Montrer que $\overline{X}_n + \overline{Y}_n \xrightarrow{P} a + b$ .

L'objectif

Conclure à la convergence en probabilité de la somme de deux suites à partir des convergences individuelles.

Le principe

Si $X_n \xrightarrow{P} X$ et $Y_n \xrightarrow{P} Y$ , alors $X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y$ ; la preuve utilise l'inclusion $\{|X_n + Y_n - X - Y| \geq \varepsilon\} \subset \{|X_n - X| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2\}$ et la croissance de $P$ .

La méthode

1
Je vérifie les deux convergences : $X_n \xrightarrow{P} X$ et $Y_n \xrightarrow{P} Y$ (souvent via LFGN, Bienaymé-Tchebychev ou théorèmes antérieurs).
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
2
Je fixe $\varepsilon > 0$ et j'invoque l'inclusion $\{|X_n + Y_n - (X+Y)| \geq \varepsilon\} \subset \{|X_n - X| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2\}$ , conséquence de l'inégalité triangulaire.
3
Par croissance et sous-additivité de $P$ , $P(|X_n + Y_n - (X+Y)| \geq \varepsilon) \leq P(|X_n - X| \geq \varepsilon/2) + P(|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2)$ .
4
Les deux majorants tendent vers $0$ par hypothèse, donc $X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie les deux convergences :

X_n \xrightarrow{P} X

Y_n \xrightarrow{P} Y

(souvent via LFGN, Bienaymé-Tchebychev ou théorèmes antérieurs).

Par la LFGN, $\overline{X}_n \xrightarrow{P} a$ et $\overline{Y}_n \xrightarrow{P} b$ .

Étape 2 —

Je fixe

\varepsilon > 0

et j'invoque l'inclusion

\{|X_n + Y_n - (X+Y)| \geq \varepsilon\} \subset \{|X_n - X| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2\}

, conséquence de l'inégalité triangulaire.

Je fixe $\varepsilon > 0$ : $\{|\overline{X}_n + \overline{Y}_n - (a+b)| \geq \varepsilon\} \subset \{|\overline{X}_n - a| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|\overline{Y}_n - b| \geq \varepsilon/2\}$ .

Étape 3 —

Par croissance et sous-additivité de

P

P(|X_n + Y_n - (X+Y)| \geq \varepsilon) \leq P(|X_n - X| \geq \varepsilon/2) + P(|Y_n - Y| \geq \varepsilon/2)

$P(|\overline{X}_n + \overline{Y}_n - (a+b)| \geq \varepsilon) \leq P(|\overline{X}_n - a| \geq \varepsilon/2) + P(|\overline{Y}_n - b| \geq \varepsilon/2)$ .

Étape 4 —

Les deux majorants tendent vers

0

par hypothèse, donc

X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y

Chaque terme tend vers $0$ (LFGN), donc $\overline{X}_n + \overline{Y}_n \xrightarrow{P} a + b$ .

$\overline{X}_n + \overline{Y}_n \xrightarrow{P} a + b$ .

Application guidée

Soient $X_n \xrightarrow{P} 1$ et $Y_n \xrightarrow{P} -3$ . Montrer que $X_n + Y_n \xrightarrow{P} -2$ .

Application autonome 1

Soit $(X_i)$ i.i.d. d'espérance $m$ et de variance finie, et $\overline{X}_n$ leur moyenne empirique. Montrer que $\overline{X}_n + \overline{X}_n^2 \xrightarrow{P} m + m^2$ .

Application autonome 2

Soient $(X_n)$ et $(Y_n)$ deux suites de variables aléatoires telles que $X_n \xrightarrow{P} 2$ et $Y_n \xrightarrow{P} -3$ . Montrer que $X_n + Y_n \xrightarrow{P} -1$ .

Application autonome 3

Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ et $(Y_i)_{i\geq 1}$ deux suites i.i.d. d'espérances $\mu_X$ et $\mu_Y$ et de variances finies. On pose $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ et $\bar{Y}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i$ . Déterminer la limite en probabilité de $\bar{X}_n + \bar{Y}_n$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant Xn→PXX_n \xrightarrow{P} XXn​P​X, Yn→PY⇒Xn+Yn→PX+YY_n \xrightarrow{P} Y \Rightarrow X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + YYn​P​Y⇒Xn​+Yn​P​X+Y

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $X_n \xrightarrow{P} X$ , $Y_n \xrightarrow{P} Y \Rightarrow X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y$