Comment appliquer la loi faible des grands nombres à une suite de variables i.i.d. ? | MetMat

Comment appliquer la loi faible des grands nombres à une suite de variables i.i.d. ?

En vérifiant i.i.d., espérance $m$ et variance $\sigma^2$ finies, puis $\overline{X}_n \xrightarrow{P} m$

Conclure que la moyenne empirique d'un échantillon i.i.d. converge en probabilité vers l'espérance commune.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ . Étudier la convergence de $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .

L'objectif

Conclure que la moyenne empirique d'un échantillon i.i.d. converge en probabilité vers l'espérance commune.

Le principe

Loi faible des grands nombres : si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite i.i.d. d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2 < +\infty$ , alors $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} m$ .

La méthode

1
Je vérifie que les $X_i$ sont bien indépendantes et de même loi (i.i.d.), et j'identifie $m = E(X_1)$ et $\sigma^2 = V(X_1) < +\infty$ .
2
Je pose $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ et j'applique la loi faible des grands nombres : $\overline{X}_n \xrightarrow{P} m$ .
3
Si l'exercice le demande, je contrôle la vitesse via $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ . Étudier la convergence de $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .

Étape 1 —

Je vérifie que les

X_i

sont bien indépendantes et de même loi (i.i.d.), et j'identifie

m = E(X_1)

\sigma^2 = V(X_1) < +\infty

Les $X_i$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ : $m = p$ et $\sigma^2 = p(1-p) < +\infty$ .

Étape 2 —

Je pose

\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

et j'applique la loi faible des grands nombres :

\overline{X}_n \xrightarrow{P} m

Je pose $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum X_i$ ; la LFGN donne $\overline{X}_n \xrightarrow{P} p$ .

Étape 3 —

Si l'exercice le demande, je contrôle la vitesse via

P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}

En complément, $P(|\overline{X}_n - p| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$ .

$\overline{X}_n \xrightarrow{P} p$ .

Application guidée

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Étudier la convergence de $\overline{X}_n$ .

Application autonome 1

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ . Montrer que $\overline{X}_n \xrightarrow{P} \mu$ .

Application autonome 2

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi uniforme $\mathcal{U}([0,1])$ . Montrer que $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 \xrightarrow{P} 1/3$ .

Application autonome 3

Soit $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d. de loi $\mathcal{G}(p)$ avec $p \in ]0,1[$ . Étudier la convergence de $\overline{X}_n$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant i.i.d., espérance mmm et variance σ2\sigma^2σ2 finies, puis X‾n→Pm\overline{X}_n \xrightarrow{P} mXn​P​m

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant i.i.d., espérance $m$ et variance $\sigma^2$ finies, puis $\overline{X}_n \xrightarrow{P} m$