Comment justifier l'approximation de la loi de Poisson par la loi normale ? | MetMat

Comment justifier l'approximation de la loi de Poisson par la loi normale ?

En décomposant $\mathcal{P}(\lambda)$ (entier) comme somme de $\lambda$ lois $\mathcal{P}(1)$ indépendantes et en appliquant le TLC

Justifier l'approximation $\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)$ pour $\lambda$ grand à partir du TLC.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le nombre d'appels reçus par un standard sur une journée suit $\mathcal{P}(100)$ . Approcher $P(90 \leq X \leq 110)$ .

L'objectif

Justifier l'approximation $\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)$ pour $\lambda$ grand à partir du TLC.

Le principe

Si $\lambda \in \mathbb{N}^*$ et $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , alors par stabilité additive, $X$ a même loi que $Y_1 + \dots + Y_\lambda$ avec $Y_i \sim \mathcal{P}(1)$ i.i.d. d'espérance $1$ et de variance $1$ ; le TLC donne $\dfrac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ quand $\lambda \to +\infty$ , d'où $\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)$ pour $\lambda$ grand (condition pratique : $\lambda \geq 18$ ).

La méthode

1
Je suppose $\lambda \in \mathbb{N}^*$ et j'écris $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ comme $X = \sum_{i=1}^\lambda Y_i$ avec $Y_i \sim \mathcal{P}(1)$ i.i.d., $E(Y_1) = 1$ et $V(Y_1) = 1 > 0$ .
2
Par le TLC appliqué aux $Y_i$ quand $\lambda \to +\infty$ : $\dfrac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .
3
J'en déduis $\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)$ pour $\lambda$ grand ; on étend le résultat aux $\lambda$ réels par continuité (admis).
4
Pour une probabilité numérique, je standardise l'événement et je lis les valeurs dans la table de $\Phi$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le nombre d'appels reçus par un standard sur une journée suit $\mathcal{P}(100)$ . Approcher $P(90 \leq X \leq 110)$ .

Étape 1 —

Je suppose

\lambda \in \mathbb{N}^*

et j'écris

X \sim \mathcal{P}(\lambda)

comme

X = \sum_{i=1}^\lambda Y_i

avec

Y_i \sim \mathcal{P}(1)

i.i.d.,

E(Y_1) = 1

V(Y_1) = 1 > 0

$X \sim \mathcal{P}(100) = Y_1 + \dots + Y_{100}$ avec $Y_i \sim \mathcal{P}(1)$ i.i.d. ( $E(Y_1) = 1$ , $V(Y_1) = 1$ ).

Étape 2 —

Par le TLC appliqué aux

Y_i

quand

\lambda \to +\infty

\dfrac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)

Par le TLC, $(X - 100)/\sqrt{100} = (X - 100)/10 \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 3 —

J'en déduis

\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)

pour

\lambda

grand ; on étend le résultat aux

\lambda

réels par continuité (admis).

$\lambda = 100 \geq 18$ : $\mathcal{P}(100) \approx \mathcal{N}(100, 100)$ .

Étape 4 —

Pour une probabilité numérique, je standardise l'événement et je lis les valeurs dans la table de

\Phi

$P(90 \leq X \leq 110) \approx \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683$ .

$P(90 \leq X \leq 110) \approx 0{,}683$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{P}(25)$ . Approcher $P(X \geq 30)$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{P}(50)$ . Approcher $P(X \leq 45)$ .

Application autonome 2

Soit $(Y_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de loi $\mathcal{P}(1)$ et $S_n = \sum_{k=1}^n Y_k$ . Déterminer la loi limite de $\dfrac{S_n - n}{\sqrt{n}}$ .

Application autonome 3

Soit $Z_\lambda \sim \mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda$ entier. En décomposant $Z_\lambda$ en somme de $\lambda$ variables i.i.d. de loi $\mathcal{P}(1)$ , démontrer que $\dfrac{Z_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ lorsque $\lambda \to +\infty$ .

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En décomposant P(λ)\mathcal{P}(\lambda)P(λ) (entier) comme somme de λ\lambdaλ lois P(1)\mathcal{P}(1)P(1) indépendantes et en appliquant le TLC

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant $\mathcal{P}(\lambda)$ (entier) comme somme de $\lambda$ lois $\mathcal{P}(1)$ indépendantes et en appliquant le TLC