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Comment justifier l'approximation de la loi de Poisson par la loi normale ?

En décomposant P(λ)\mathcal{P}(\lambda) (entier) comme somme de λ\lambda lois P(1)\mathcal{P}(1) indépendantes et en appliquant le TLC

L'objectif

Justifier l'approximation P(λ)≈N(λ,λ)\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda) pour λ\lambda grand à partir du TLC.

Le principe

Si λ∈N∗\lambda \in \mathbb{N}^* et X∼P(λ)X \sim \mathcal{P}(\lambda), alors par stabilité additive, XX a même loi que Y1+⋯+YλY_1 + \dots + Y_\lambda avec Yi∼P(1)Y_i \sim \mathcal{P}(1) i.i.d. d'espérance 11 et de variance 11 ; le TLC donne X−λλ→LN(0,1)\dfrac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1) quand λ→+∞\lambda \to +\infty, d'où P(λ)≈N(λ,λ)\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda) pour λ\lambda grand (condition pratique : λ≥18\lambda \geq 18).

La méthode
  1. 1
    Je suppose λ∈N∗\lambda \in \mathbb{N}^* et j'écris X∼P(λ)X \sim \mathcal{P}(\lambda) comme X=∑i=1λYiX = \sum_{i=1}^\lambda Y_i avec Yi∼P(1)Y_i \sim \mathcal{P}(1) i.i.d., E(Y1)=1E(Y_1) = 1 et V(Y1)=1>0V(Y_1) = 1 > 0.
  2. 2
    Par le TLC appliqué aux YiY_i quand λ→+∞\lambda \to +\infty : X−λλ→LN(0,1)\dfrac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).
  3. 3
    J'en déduis P(λ)≈N(λ,λ)\mathcal{P}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda) pour λ\lambda grand ; on étend le résultat aux λ\lambda réels par continuité (admis).
  4. 4
    Pour une probabilité numérique, je standardise l'événement et je lis les valeurs dans la table de Φ\Phi.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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