Comment justifier l'approximation de la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par la loi normale ? | MetMat

Comment justifier l'approximation de la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par la loi normale ?

En écrivant $\mathcal{B}(n,p)$ comme somme de $n$ Bernoulli i.i.d. et en appliquant le TLC

Justifier l'approximation $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand à partir du TLC.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On interroge $n = 400$ personnes, chacune approuvant avec probabilité $p = 0{,}4$ , indépendamment. Approcher $P(S_n \geq 180)$ où $S_n$ est le nombre d'approbations.

L'objectif

Justifier l'approximation $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand à partir du TLC.

Le principe

Si $S_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors $S_n = \sum_{i=1}^n Y_i$ avec $Y_i \sim \mathcal{B}(p)$ i.i.d. d'espérance $p$ et de variance $p(1-p)$ ; le TLC donne $\dfrac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ , d'où $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand (conditions pratiques : $n \geq 30$ , $np \geq 5$ , $n(1-p) \geq 5$ ).

La méthode

1
Je décompose $S_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ en somme $S_n = \sum_{i=1}^n Y_i$ où $Y_i \sim \mathcal{B}(p)$ i.i.d., avec $E(Y_1) = p$ et $V(Y_1) = p(1-p) > 0$ .
2
J'applique le TLC : $\dfrac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .
3
J'en déduis l'approximation $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand, valable dès que $n \geq 30$ , $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ .
4
Pour un calcul numérique, je standardise l'événement et je lis les valeurs dans la table de $\Phi$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On interroge $n = 400$ personnes, chacune approuvant avec probabilité $p = 0{,}4$ , indépendamment. Approcher $P(S_n \geq 180)$ où $S_n$ est le nombre d'approbations.

Étape 1 —

Je décompose

S_n \sim \mathcal{B}(n, p)

en somme

S_n = \sum_{i=1}^n Y_i

où

Y_i \sim \mathcal{B}(p)

i.i.d., avec

E(Y_1) = p

V(Y_1) = p(1-p) > 0

$S_n \sim \mathcal{B}(400, 0{,}4) = \sum_{i=1}^{400} Y_i$ avec $Y_i \sim \mathcal{B}(0{,}4)$ i.i.d., $E(Y_1) = 0{,}4$ et $V(Y_1) = 0{,}24 > 0$ .

Étape 2 —

J'applique le TLC :

\dfrac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)

$E(S_n) = 160$ , $V(S_n) = 96$ , $\sigma(S_n) = \sqrt{96} \approx 9{,}798$ ; par le TLC, $(S_n - 160)/\sqrt{96} \approx \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 3 —

J'en déduis l'approximation

\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))

pour

n

grand, valable dès que

n \geq 30

np \geq 5

n(1-p) \geq 5

Conditions satisfaites ( $n = 400 \geq 30$ , $np = 160 \geq 5$ , $n(1-p) = 240 \geq 5$ ) : $\mathcal{B}(400, 0{,}4) \approx \mathcal{N}(160, 96)$ .

Étape 4 —

Pour un calcul numérique, je standardise l'événement et je lis les valeurs dans la table de

\Phi

$P(S_n \geq 180) = P((S_n - 160)/\sqrt{96} \geq 20/\sqrt{96}) \approx 1 - \Phi(2{,}041) \approx 1 - 0{,}9794 = 0{,}0206$ .

$P(S_n \geq 180) \approx 0{,}021$ .

Application guidée

Soit $S_n \sim \mathcal{B}(100, 0{,}5)$ . Approcher $P(45 \leq S_n \leq 55)$ .

Application autonome 1

Un sondage porte sur $n = 1600$ électeurs, chacun favorable avec probabilité inconnue $p = 0{,}5$ . Approcher $P(|S_n/n - 0{,}5| \leq 0{,}025)$ .

Application autonome 2

Soit $S_n \sim \mathcal{B}(200, 0{,}3)$ . Approcher $P(S_n \leq 50)$ par le TLC.

Application autonome 3

Lors d'un examen, $n = 900$ étudiants passent une épreuve indépendamment, chacun réussissant avec probabilité $p = 0{,}8$ . Approcher la probabilité qu'au moins $750$ réussissent.

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En écrivant B(n,p)\mathcal{B}(n,p)B(n,p) comme somme de nnn Bernoulli i.i.d. et en appliquant le TLC

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $\mathcal{B}(n,p)$ comme somme de $n$ Bernoulli i.i.d. et en appliquant le TLC