En vérifiant $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}$ sur $\mathbb{R}^n$

Soit $(X,Y)$ un couple de FdR conjointe $F_{(X,Y)}(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})$ pour $x,y\geq 0$ et $0$ sinon. Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Soit $(X,Y)$ un couple de FdR $F_{(X,Y)}(x,y)=\min(F_X(x),F_Y(y))$ avec $X,Y\sim \mathcal{U}[0,1]$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables telles que $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=\prod_{k=1}^{n} \Phi(x_k)$ où $\Phi$ est la FdR de $\mathcal{N}(0,1)$. Montrer que les $X_i$ sont mutuellement indépendantes et de loi $\mathcal{N}(0,1)$.

Soient $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ et $Y \sim \mathcal{E}(1)$ indépendantes. Vérifier que $F_{(X,Y)}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$ pour tout $(x, y) \in [0,1] \times \mathbb{R}_+$, puis conclure sur l'indépendance de $X$ et $Y$.

Soit $(X, Y)$ discret avec $F_{(X,Y)}(x,y) = F_X(x) F_Y(y)$ pour tout $(x,y)$. Montrer que pour tout $(k, \ell)$, $P(X = k, Y = \ell) = P(X = k) P(Y = \ell)$.