Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$-uplet ? | MetMat

Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$ -uplet ?

En sommant la loi conjointe sur les autres variables dans le cas discret

Calculer la loi marginale $P(X_i=x_i)$ à partir de la loi conjointe discrète par sommation sur les autres coordonnées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X,Y)$ un couple discret dont la loi conjointe est donnée sur $\{0,1\}^2$ par : $P(0,0)=\frac{1}{4}$ , $P(0,1)=\frac{1}{4}$ , $P(1,0)=\frac{1}{6}$ , $P(1,1)=\frac{1}{3}$ . Déterminer la loi marginale de $X$ .

L'objectif

Calculer la loi marginale $P(X_i=x_i)$ à partir de la loi conjointe discrète par sommation sur les autres coordonnées.

Le principe

Pour un vecteur aléatoire discret $(X_1,\dots,X_n)$ , $P(X_i=x_i)=\sum_{(x_j)_{j\neq i}} P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)$ , la somme étant absolument convergente par positivité des probabilités.

La méthode

1
Je précise les supports $X_j(\Omega)$ pour chaque indice $j$ et je me donne $x_i\in X_i(\Omega)$ .
2
J'écris la loi conjointe $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)$ pour tout $(x_1,\dots,x_n)$ sous forme de tableau ou de formule explicite.
3
Je somme sur toutes les valeurs des variables autres que $X_i$ : $P(X_i=x_i)=\sum_{(x_j)_{j\neq i}\in \prod_{j\neq i} X_j(\Omega)} P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)$ .
4
Je simplifie la somme pour reconnaître si possible une loi usuelle (Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique, etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je précise les supports

X_j(\Omega)

pour chaque indice

j

et je me donne

x_i\in X_i(\Omega)

Les supports sont $X(\Omega)=Y(\Omega)=\{0,1\}$ ; je cherche $P(X=0)$ et $P(X=1)$ .

Étape 2 —

J'écris la loi conjointe

P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)

pour tout

(x_1,\dots,x_n)

sous forme de tableau ou de formule explicite.

La loi conjointe est tabulée : $P(X=i,Y=j)$ donnée pour chaque $(i,j)\in \{0,1\}^2$ .

Étape 3 —

Je somme sur toutes les valeurs des variables autres que

X_i

P(X_i=x_i)=\sum_{(x_j)_{j\neq i}\in \prod_{j\neq i} X_j(\Omega)} P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)

$P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ , et $P(X=1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Je simplifie la somme pour reconnaître si possible une loi usuelle (Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique, etc.).

Je reconnais : $X\sim \mathcal{B}\!\left(\frac{1}{2}\right)$ (Bernoulli).

$X\sim \mathcal{B}\!\left(\frac{1}{2}\right)$ .

Application guidée

Soient $X$ et $Y$ deux variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $P(X=i,Y=j)=\frac{1}{2^{i+j+2}}$ pour $(i,j)\in \mathbb{N}^2$ . Déterminer la loi marginale de $Y$ .

Application autonome 1

On tire simultanément deux boules dans une urne contenant $3$ boules numérotées $1,2,3$ . Soient $X$ et $Y$ les deux numéros obtenus avec $X<Y$ . Déterminer la loi marginale de $X$ .

Application autonome 2

Soient $X$ et $Y$ deux variables à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ telles que $P(X = i, Y = j) = \dfrac{1}{2^i \cdot 3^j} \cdot c$ avec $c$ constante. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$ .

Application autonome 3

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces, indépendamment. Soit $X$ le résultat du premier dé et $Y = \max(X, Z)$ où $Z$ est le résultat du second. Déterminer la loi marginale de $Y$ .

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