Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$-uplet ? | MetMat

Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$ -uplet ?

En passant à la limite dans la fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$

Retrouver la fonction de répartition $F_{X_i}$ d'une marginale à partir de la FdR conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire de fonction de répartition $F_{(X,Y)}(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})$ pour $x,y\geq 0$ et $0$ sinon. Déterminer la loi marginale de $X$ .

L'objectif

Retrouver la fonction de répartition $F_{X_i}$ d'une marginale à partir de la FdR conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ .

Le principe

Pour tout $i\in \{1,\dots,n\}$ , $F_{X_i}(x_i)=\lim_{x_j\to +\infty,\, j\neq i} F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)$ , car $\{X_j\leq x_j\}\to \Omega$ quand $x_j\to +\infty$ pour chaque $j\neq i$ .

La méthode

1
Je me place au niveau de la FdR conjointe connue $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et je fixe l'indice $i$ dont je veux la loi marginale.
2
Je fais tendre chaque $x_j$ vers $+\infty$ pour $j\neq i$ , en justifiant ce passage à la limite par le théorème de la limite monotone ou la continuité de la FdR conjointe.
3
Je lis l'expression obtenue : $F_{X_i}(x_i)=\lim_{x_j\to +\infty,\, j\neq i} F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)$ .
4
Je reconnais éventuellement une loi usuelle (uniforme, exponentielle, normale, etc.) pour caractériser la marginale.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire de fonction de répartition $F_{(X,Y)}(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})$ pour $x,y\geq 0$ et $0$ sinon. Déterminer la loi marginale de $X$ .

Étape 1 —

Je me place au niveau de la FdR conjointe connue

F_{(X_1,\dots,X_n)}

et je fixe l'indice

i

dont je veux la loi marginale.

Je pars de $F_{(X,Y)}(x,y)$ connue et je cherche $F_X(x)=\lim_{y\to +\infty} F_{(X,Y)}(x,y)$ .

Étape 2 —

Je fais tendre chaque

x_j

vers

+\infty

pour

j\neq i

, en justifiant ce passage à la limite par le théorème de la limite monotone ou la continuité de la FdR conjointe.

Pour $x\geq 0$ fixé, quand $y\to +\infty$ , $1-e^{-y}\to 1$ , donc la limite existe par convergence monotone.

Étape 3 —

Je lis l'expression obtenue :

F_{X_i}(x_i)=\lim_{x_j\to +\infty,\, j\neq i} F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)

$F_X(x)=(1-e^{-x})\cdot 1=1-e^{-x}$ pour $x\geq 0$ , et $F_X(x)=0$ pour $x<0$ .

Étape 4 —

Je reconnais éventuellement une loi usuelle (uniforme, exponentielle, normale, etc.) pour caractériser la marginale.

Je reconnais la fonction de répartition de $\mathcal{E}(1)$ : $X\sim \mathcal{E}(1)$ .

$X$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(1)$ .

Application guidée

Soit $(X,Y)$ un couple tel que $F_{(X,Y)}(x,y)=xy$ pour $(x,y)\in [0,1]^2$ , prolongé de manière à ce que $F_{(X,Y)}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ partout, avec $X,Y$ à valeurs dans $[0,1]$ . Déterminer la marginale de $Y$ .

Application autonome 1

Soient $X_1,X_2,X_3$ trois variables aléatoires indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Déterminer la loi marginale de $X_2$ à partir de la FdR conjointe du triplet $(X_1,X_2,X_3)$ .

Application autonome 2

Soit $(X, Y)$ un couple tel que $F_{(X,Y)}(x, y) = (1 - e^{-2x})(1 - e^{-3y})$ pour $x, y \geq 0$ (et $0$ sinon). Déterminer la loi marginale de $Y$ .

Application autonome 3

Soit $(X, Y)$ tel que $F_{(X,Y)}(x, y) = \min(x, 1) \min(y, 1)$ pour $x, y \geq 0$ (et $0$ si $x < 0$ ou $y < 0$ ). Déterminer la loi marginale de $X$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En passant à la limite dans la fonction de répartition conjointe F(X1,…,Xn)F_{(X_1,\dots,X_n)}F(X1​,…,Xn​)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En passant à la limite dans la fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$