Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$-uplet ? | MetMat

Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$ -uplet ?

En passant à la limite dans la fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$

L'objectif

Retrouver la fonction de répartition $F_{X_i}$ d'une marginale à partir de la FdR conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ .

Le principe

Pour tout $i\in \{1,\dots,n\}$ , $F_{X_i}(x_i)=\lim_{x_j\to +\infty,\, j\neq i} F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)$ , car $\{X_j\leq x_j\}\to \Omega$ quand $x_j\to +\infty$ pour chaque $j\neq i$ .

La méthode

1
Je me place au niveau de la FdR conjointe connue $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et je fixe l'indice $i$ dont je veux la loi marginale.
2
Je fais tendre chaque $x_j$ vers $+\infty$ pour $j\neq i$ , en justifiant ce passage à la limite par le théorème de la limite monotone ou la continuité de la FdR conjointe.
3
Je lis l'expression obtenue : $F_{X_i}(x_i)=\lim_{x_j\to +\infty,\, j\neq i} F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)$ .
4
Je reconnais éventuellement une loi usuelle (uniforme, exponentielle, normale, etc.) pour caractériser la marginale.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire de fonction de répartition $F_{(X,Y)}(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})$ pour $x,y\geq 0$ et $0$ sinon. Déterminer la loi marginale de $X$ .

Application guidée 2

Soit $(X,Y)$ un couple tel que $F_{(X,Y)}(x,y)=xy$ pour $(x,y)\in [0,1]^2$ , prolongé de manière à ce que $F_{(X,Y)}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ partout, avec $X,Y$ à valeurs dans $[0,1]$ . Déterminer la marginale de $Y$ .

Application autonome 1

Soient $X_1,X_2,X_3$ trois variables aléatoires indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Déterminer la loi marginale de $X_2$ à partir de la FdR conjointe du triplet $(X_1,X_2,X_3)$ .

Application autonome 2

Soit $(X, Y)$ un couple tel que $F_{(X,Y)}(x, y) = (1 - e^{-2x})(1 - e^{-3y})$ pour $x, y \geq 0$ (et $0$ sinon). Déterminer la loi marginale de $Y$ .

Application autonome 3

Soit $(X, Y)$ tel que $F_{(X,Y)}(x, y) = \min(x, 1) \min(y, 1)$ pour $x, y \geq 0$ (et $0$ si $x < 0$ ou $y < 0$ ). Déterminer la loi marginale de $X$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En passant à la limite dans la fonction de répartition conjointe F(X1,…,Xn)F_{(X_1,\dots,X_n)}F(X1​,…,Xn​)​

Évalue la méthode

En passant à la limite dans la fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$