Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ? | MetMat

Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ?

En démontrant par récurrence sur $n$ via le produit de convolution

L'objectif

Obtenir par récurrence la densité explicite de $S_n$ pour $X_i \sim \mathcal{E}(\lambda)$ i.i.d., sans invoquer directement la stabilité de $\gamma$ .

Le principe

On démontre par récurrence sur $n \geq 1$ que $f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , en utilisant à chaque pas que $S_{n+1} = S_n + X_{n+1}$ avec $X_{n+1}$ indépendante de $S_n$ (par le lemme des coalitions) et la formule de convolution.

La méthode

1
Je pose $\mathcal{P}(n)$ : $f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , et je vérifie l'initialisation $n = 1$ : $S_1 = X_1 \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , soit $f_{S_1}(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , conforme à la formule.
2
Je suppose $\mathcal{P}(n)$ vraie. Par le lemme des coalitions, $S_n = X_1 + \dots + X_n$ est indépendante de $X_{n+1}$ , donc $S_{n+1} = S_n + X_{n+1}$ admet une densité par convolution.
Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ?Voir
3
Je calcule $f_{S_{n+1}}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{S_n}(u)\,f_{X_{n+1}}(t - u)\,\mathrm{d}u$ en restreignant le domaine à $\{0 < u < t\}$ (non vide pour $t > 0$ ).
4
J'obtiens $f_{S_{n+1}}(t) = \int_0^t \frac{\lambda^n u^{n-1} e^{-\lambda u}}{(n-1)!}\,\cdot\,\lambda e^{-\lambda(t-u)}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1} e^{-\lambda t}}{(n-1)!} \int_0^t u^{n-1}\,\mathrm{d}u = \frac{\lambda^{n+1}}{n!}\,t^n\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ , soit $\mathcal{P}(n+1)$ ; je conclus par récurrence.

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Application guidée 1

Soit $X_1, X_2$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Retrouver par convolution la densité de $S_2 = X_1 + X_2$ .

Application guidée 2

Soit $X_1, X_2, X_3$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ . Calculer la densité de $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ en effectuant le pas de récurrence à partir de $S_2$ .

Application autonome 1

Écrire proprement le pas de récurrence démontrant que $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$ pour $X_i \sim \mathcal{E}(\lambda)$ i.i.d.

Application autonome 2

Soient $X_1, X_2, X_3$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer la densité de $S_2 = X_1 + X_2$ puis celle de $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ .

Application autonome 3

Rédiger le pas de récurrence démontrant la formule $f_{S_n}(s) = \dfrac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathbf{1}_{s > 0}$ pour $X_i \sim \mathcal{E}(\lambda)$ i.i.d.

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En démontrant par récurrence sur nnn via le produit de convolution

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