Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ? | MetMat

Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ?

En se ramenant à $\lambda S_n \sim \gamma(n)$ par stabilité, puis en revenant à $S_n$ par changement d'échelle

Déterminer explicitement la densité de la somme $S_n$ de $n$ variables i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ .

L'objectif

Déterminer explicitement la densité de la somme $S_n$ de $n$ variables i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , alors $\lambda X \sim \mathcal{E}(1) = \gamma(1)$ ; par stabilité de $\gamma$ , si $X_1, \dots, X_n$ sont i.i.d. $\mathcal{E}(\lambda)$ , $\lambda S_n = \sum \lambda X_i \sim \gamma(n)$ , et $S_n = \frac{1}{\lambda}(\lambda S_n)$ a pour densité $f_{S_n}(t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t > 0}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes et de même loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ .
2
Je me ramène à des lois $\mathcal{E}(1) = \gamma(1)$ en posant $Y_i = \lambda X_i$ ; par stabilité affine, $Y_i \sim \mathcal{E}(1)$ , et les $Y_i$ restent indépendantes (fonctions de variables indépendantes).
3
J'applique la stabilité de la loi $\gamma$ : $\lambda S_n = \sum_{i=1}^n Y_i \sim \gamma(n)$ , de densité $\frac{t^{n-1} e^{-t}}{(n-1)!}\,\mathbf{1}_{t>0}$ .
4
Je reviens à $S_n = \frac{1}{\lambda}(\lambda S_n)$ : par la formule de changement d'échelle, $f_{S_n}(t) = \lambda\,f_{\lambda S_n}(\lambda t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ .

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Exercice d'exemple

Soit $X_1, X_2$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Déterminer la densité de $S_2 = X_1 + X_2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X_1, \dots, X_n

sont indépendantes et de même loi

\mathcal{E}(\lambda)

avec

\lambda > 0

$X_1, X_2$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ .

Étape 2 —

Je me ramène à des lois

\mathcal{E}(1) = \gamma(1)

en posant

Y_i = \lambda X_i

; par stabilité affine,

Y_i \sim \mathcal{E}(1)

, et les

Y_i

restent indépendantes (fonctions de variables indépendantes).

On pose $Y_i = \lambda X_i \sim \mathcal{E}(1) = \gamma(1)$ ; les $Y_i$ restent indépendantes.

Étape 3 —

J'applique la stabilité de la loi

\gamma

\lambda S_n = \sum_{i=1}^n Y_i \sim \gamma(n)

, de densité

\frac{t^{n-1} e^{-t}}{(n-1)!}\,\mathbf{1}_{t>0}

Par stabilité de $\gamma$ : $Y_1 + Y_2 \sim \gamma(2)$ , de densité $t\,e^{-t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ .

Étape 4 —

Je reviens à

S_n = \frac{1}{\lambda}(\lambda S_n)

: par la formule de changement d'échelle,

f_{S_n}(t) = \lambda\,f_{\lambda S_n}(\lambda t) = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}\,t^{n-1}\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}

On revient à $S_2 = (Y_1 + Y_2)/\lambda$ : $f_{S_2}(t) = \lambda \cdot (\lambda t) e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{\lambda t > 0} = \lambda^2 t\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t > 0}$ .

$f_{S_2}(t) = \lambda^2\,t\,e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t>0}$ .

Application guidée

Soit $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Déterminer la densité de $S_n = X_1 + \dots + X_n$ .

Application autonome 1

Une machine tombe en panne selon une suite de temps inter-pannes $X_i$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1/2)$ (espérance $2$ ). Déterminer la densité du temps $T_5$ de la cinquième panne.

Application autonome 2

Soient $X_1, X_2, X_3$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ . Déterminer la densité de $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, \dots, X_4$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(3)$ . Déterminer la densité de $S_4 = X_1 + \cdots + X_4$ .

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En se ramenant à λSn∼γ(n)\lambda S_n \sim \gamma(n)λSn​∼γ(n) par stabilité, puis en revenant à SnS_nSn​ par changement d'échelle

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En se ramenant à $\lambda S_n \sim \gamma(n)$ par stabilité, puis en revenant à $S_n$ par changement d'échelle