Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ? | MetMat

Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

En utilisant la stabilité additive $X \sim \gamma(\nu_1)$ , $Y \sim \gamma(\nu_2)$ indépendantes $\Rightarrow X+Y \sim \gamma(\nu_1+\nu_2)$

Identifier la loi de la somme $X+Y$ de deux variables de lois gamma indépendantes sans calcul de convolution.

L'objectif

Identifier la loi de la somme $X+Y$ de deux variables de lois gamma indépendantes sans calcul de convolution.

Le principe

Si $X_1 \sim \gamma(\nu_1)$ et $X_2 \sim \gamma(\nu_2)$ sont indépendantes (avec $\nu_1, \nu_2 > 0$ ), alors $X_1 + X_2 \sim \gamma(\nu_1 + \nu_2)$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
J'identifie pour chaque variable $X_i$ la loi $\gamma(\nu_i)$ (densité $\frac{t^{\nu_i-1} e^{-t}}{\Gamma(\nu_i)}\,\mathbf{1}_{t>0}$ ) et je vérifie l'indépendance.
2
Je vérifie les hypothèses du théorème de stabilité : variables indépendantes, lois de type $\gamma$ avec des paramètres positifs.
3
J'applique la stabilité : $X_1 + X_2 \sim \gamma(\nu_1 + \nu_2)$ , et j'écris la densité associée.
4
Je vérifie éventuellement la cohérence sur l'espérance et la variance : $\mathbb{E}(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2$ , $V(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \gamma(3)$ et $Y \sim \gamma(5)$ indépendantes. Déterminer la loi de $S = X + Y$ .

Étape 1 —

J'identifie pour chaque variable

X_i

la loi

\gamma(\nu_i)

(densité

\frac{t^{\nu_i-1} e^{-t}}{\Gamma(\nu_i)}\,\mathbf{1}_{t>0}

) et je vérifie l'indépendance.

On a $X \sim \gamma(3)$ et $Y \sim \gamma(5)$ , et l'énoncé indique l'indépendance.

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses du théorème de stabilité : variables indépendantes, lois de type

\gamma

avec des paramètres positifs.

Les hypothèses du théorème de stabilité de la loi $\gamma$ sont vérifiées : lois $\gamma$ , indépendance, $\nu_1 = 3 > 0$ et $\nu_2 = 5 > 0$ .

Étape 3 —

J'applique la stabilité :

X_1 + X_2 \sim \gamma(\nu_1 + \nu_2)

, et j'écris la densité associée.

On en déduit $S = X + Y \sim \gamma(3 + 5) = \gamma(8)$ , de densité $f_S(t) = \frac{t^7 e^{-t}}{7!}\,\mathbf{1}_{t>0}$ .

Étape 4 —

Je vérifie éventuellement la cohérence sur l'espérance et la variance :

\mathbb{E}(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2

V(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2

Cohérence : $\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) = 3 + 5 = 8$ et $V(S) = V(X) + V(Y) = 3 + 5 = 8$ , ce qui correspond bien à $\gamma(8)$ .

$S \sim \gamma(8)$ .

Application guidée

Soit $X_1, \dots, X_n$ indépendantes, avec $X_i \sim \gamma(\nu_i)$ , $\nu_i > 0$ . Déterminer la loi de $S_n = X_1 + \dots + X_n$ .

Application autonome 1

Soit $U \sim \gamma(1/2)$ et $V \sim \gamma(1/2)$ indépendantes. Reconnaître la loi de $U + V$ .

Application autonome 2

Soient $X \sim \gamma(2)$ et $Y \sim \gamma(3)$ indépendantes. Déterminer la loi de $Z = X + Y$ et calculer $E(Z)$ et $V(Z)$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, \dots, X_n$ indépendantes de même loi $\gamma(\nu)$ . Donner la loi de $S_n = X_1 + \dots + X_n$ .

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En utilisant la stabilité additive X∼γ(ν1)X \sim \gamma(\nu_1)X∼γ(ν1​), Y∼γ(ν2)Y \sim \gamma(\nu_2)Y∼γ(ν2​) indépendantes ⇒X+Y∼γ(ν1+ν2)\Rightarrow X+Y \sim \gamma(\nu_1+\nu_2)⇒X+Y∼γ(ν1​+ν2​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant la stabilité additive $X \sim \gamma(\nu_1)$ , $Y \sim \gamma(\nu_2)$ indépendantes $\Rightarrow X+Y \sim \gamma(\nu_1+\nu_2)$