Comment déterminer la densité de $Z = X+Y$ pour deux variables à densité indépendantes via le produit de convolution ? | MetMat

Comment déterminer la densité de $Z = X+Y$ pour deux variables à densité indépendantes via le produit de convolution ?

En appliquant la formule $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ après justification

L'objectif

Obtenir une densité de la variable $Z = X+Y$ à partir des densités $f_X$ et $f_Y$ de deux variables à densité indépendantes.

Le principe

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires à densité indépendantes de densités $f_X, f_Y$ , la fonction $h(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t) f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ , lorsqu'elle est définie et continue sauf en un nombre fini de points (cas en particulier si $f_X$ ou $f_Y$ est bornée), est une densité de $Z = X+Y$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ et $Y$ sont à densité et $X \perp\!\!\!\perp Y$ , et l'une des deux densités au moins est bornée (pour justifier l'existence du produit de convolution).
2
Je pose $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ et je précise les supports de $f_X$ et $f_Y$ .
3
Je réduis le domaine d'intégration : $t$ doit appartenir au support de $f_X$ ET $z-t$ au support de $f_Y$ ; j'écris les inégalités correspondantes et je distingue les cas selon la valeur de $z$ .
4
Je calcule l'intégrale obtenue sur le domaine effectif, puis je vérifie que $f_{X+Y}$ est bien une densité (positive, intégrale égale à $1$ ).

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Application guidée 1

Soit $X, Y$ indépendantes de loi $\mathcal{U}([0,1])$ . Déterminer la densité de $Z = X+Y$ .

Application guidée 2

Soit $X, Y$ indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Déterminer la densité de $Z = X+Y$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ et $Y \sim \mathcal{E}(1)$ indépendantes. Déterminer la densité de $Z = X+Y$ .

Application autonome 2

Soit $X, Y$ indépendantes de même densité $f(t) = e^{-t}\,\mathbf{1}_{t > 0}$ (loi $\mathcal{E}(1)$ ). Retrouver la densité de $Z = X+Y$ en détaillant la réduction du domaine.

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ et $Y \sim \mathcal{U}([0, 2])$ indépendantes. Déterminer la densité de $Z = X + Y$ .

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En appliquant la formule fX+Y(z)=∫−∞+∞fX(t) fY(z−t) dtf_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}tfX+Y​(z)=∫−∞+∞​fX​(t)fY​(z−t)dt après justification

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En appliquant la formule $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ après justification