Comment calculer la dimension d'une somme directe de sous-espaces vectoriels ? | MetMat

Comment calculer la dimension d'une somme directe de sous-espaces vectoriels ?

En additionnant les dimensions : $\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \sum \dim F_i$

Calculer rapidement la dimension d'une somme directe.

L'objectif

Calculer rapidement la dimension d'une somme directe.

Le principe

Si $F_1, \dots, F_k$ sont des sous-espaces de $E$ en somme directe, alors $\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ .

La méthode

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Je vérifie que les sous-espaces $F_i$ sont bien en somme directe (hypothèse ou démonstration préalable), puis je détermine la dimension $\dim F_i$ de chaque facteur.
Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?Voir
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Je somme : $\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \sum_{i=1}^k \dim F_i$ .
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Je conclus en donnant la valeur numérique ou en comparant à $\dim E$ si l'on souhaite en déduire $E = \bigoplus F_i$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , calculer la dimension de $S_n \oplus A_n$ (symétriques et antisymétriques).

Étape 1 —

Je vérifie que les sous-espaces

F_i

sont bien en somme directe (hypothèse ou démonstration préalable), puis je détermine la dimension

\dim F_i

de chaque facteur.

La somme est directe (classique, prouvé par $M = \frac{1}{2}(M + {}^tM) + \frac{1}{2}(M - {}^tM)$ et $S_n \cap A_n = \{0\}$ ). $\dim S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ , $\dim A_n = \frac{n(n-1)}{2}$ .

Étape 2 —

Je somme :

\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \sum_{i=1}^k \dim F_i

$\dim(S_n \oplus A_n) = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1) + n(n-1)}{2} = \frac{2n^2}{2} = n^2$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant la valeur numérique ou en comparant à

\dim E

si l'on souhaite en déduire

E = \bigoplus F_i

Donc $\dim(S_n \oplus A_n) = n^2 = \dim \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , d'où $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = S_n \oplus A_n$ .

$\dim(S_n \oplus A_n) = n^2$ et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = S_n \oplus A_n$ .

Application guidée

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^n$ avec trois valeurs propres distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ et $\dim E_{\lambda_1}(f) = 2$ , $\dim E_{\lambda_2}(f) = 3$ , $\dim E_{\lambda_3}(f) = 1$ . Calculer $n$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^4$ , on considère $F = \mathrm{Vect}((1,0,0,0), (0,1,0,0))$ , $G = \mathrm{Vect}((0,0,1,0))$ et $H = \mathrm{Vect}((0,0,0,1))$ ; on sait que $\mathbb{R}^4 = F \oplus G \oplus H$ . Calculer $\dim(F \oplus G \oplus H)$ .

Application autonome 2

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^5$ avec $\mathrm{Sp}(f) = \{1, 2\}$ , $\dim E_1(f) = 2$ . Calculer $\dim E_2(f)$ .

Application autonome 3

Dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , on décompose toute matrice en partie symétrique et antisymétrique. Calculer $\dim(\mathcal{S}_3 \oplus \mathcal{A}_3)$ .

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En additionnant les dimensions : dim⁡(F1⊕⋯⊕Fk)=∑dim⁡Fi\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \sum \dim F_idim(F1​⊕⋯⊕Fk​)=∑dimFi​

Pour comprendre, fais des exercices !

En additionnant les dimensions : $\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \sum \dim F_i$