En choisissant une base de chaque $F_i$ et en concaténant ces bases

Dans $\mathbb{R}^3$, soient $F = \{(x,y,z) : z = 0\}$ et $G = \mathrm{Vect}((0,0,1))$. Construire une base adaptée à $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$.

Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = S \oplus A$ (symétriques $\oplus$ antisymétriques), construire une base adaptée.

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(f) = \{0, 1\}$, $\dim E_0(f) = 1$ engendré par $v_1 = (1, 1, 0)$ et $\dim E_1(f) = 2$ engendré par $v_2 = (1, 0, 0), v_3 = (0, 0, 1)$. Construire une base adaptée à $\mathbb{R}^3 = E_0 \oplus E_1$.

Dans $\mathbb{R}^4$, on a $F_1 = \mathrm{Vect}((1,0,0,0), (0,1,0,0))$ et $F_2 = \mathrm{Vect}((0,0,1,0), (0,0,0,1))$. Construire une base de $F_1 \oplus F_2$.

Dans $\mathbb{R}^3$, on a $F_1 = \mathrm{Vect}((1,1,0))$ et $F_2 = \mathrm{Vect}((1,0,1))$. Donner, si elle existe, une base de $F_1 \oplus F_2$.