Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ? | MetMat

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En vérifiant l'égalité des dimensions $\dim(F_1 + \dots + F_k) = \sum \dim F_i$

Prouver $F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ par un argument dimensionnel.

L'objectif

Prouver $F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ par un argument dimensionnel.

Le principe

En dimension finie, la somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe si et seulement si $\dim(F_1 + \dots + F_k) = \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ (généralisation de la formule de Grassmann).

La méthode

1
Je calcule les dimensions $\dim F_i$ de chaque sous-espace, puis je calcule $\dim(F_1 + \dots + F_k)$ (en exhibant une famille génératrice et en extrayant une base, ou via une double inclusion).
2
Je compare : si l'égalité $\dim(\sum F_i) = \sum \dim F_i$ est vérifiée, la somme est directe ; sinon, elle ne l'est pas.
3
Je conclus quant au caractère direct de la somme.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$ et $G = \mathrm{Vect}((1,1,1))$ . Montrer que $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

Étape 1 —

Je calcule les dimensions

\dim F_i

de chaque sous-espace, puis je calcule

\dim(F_1 + \dots + F_k)

(en exhibant une famille génératrice et en extrayant une base, ou via une double inclusion).

$\dim F = 2$ (plan défini par une équation), $\dim G = 1$ , et $(1,1,1) \notin F$ car $1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ , donc $F + G$ contient strictement $F$ : $\dim(F + G) \geqslant 3$ , or $F + G \subset \mathbb{R}^3$ , d'où $\dim(F + G) = 3$ .

Étape 2 —

Je compare : si l'égalité

\dim(\sum F_i) = \sum \dim F_i

est vérifiée, la somme est directe ; sinon, elle ne l'est pas.

$\dim(F + G) = 3 = 2 + 1 = \dim F + \dim G$ , donc la somme est directe.

Étape 3 —

Je conclus quant au caractère direct de la somme.

Par conséquent $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

$\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $F = \mathrm{Vect}((1,0,0), (0,1,0))$ et $G = \mathrm{Vect}((1,1,0))$ . La somme $F + G$ est-elle directe ?

Application autonome 1

Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , soient $S$ l'espace des symétriques et $A$ celui des antisymétriques. Montrer que $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = S \oplus A$ par argument dimensionnel.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $F = \mathrm{Vect}((1,0,0))$ , $G = \mathrm{Vect}((0,1,0))$ , $H = \mathrm{Vect}((0,0,1))$ . Montrer que $\mathbb{R}^3 = F \oplus G \oplus H$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^4$ , soient $F = \mathrm{Vect}((1,1,0,0), (1,-1,0,0))$ et $G = \mathrm{Vect}((0,0,1,0), (0,0,0,1))$ . Montrer que $\mathbb{R}^4 = F \oplus G$ .

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En vérifiant l'égalité des dimensions dim⁡(F1+⋯+Fk)=∑dim⁡Fi\dim(F_1 + \dots + F_k) = \sum \dim F_idim(F1​+⋯+Fk​)=∑dimFi​

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant l'égalité des dimensions $\dim(F_1 + \dots + F_k) = \sum \dim F_i$