Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ? | MetMat

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En concaténant des bases des $F_i$ et en vérifiant la liberté de la famille obtenue

Établir $F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ via la concaténation libre de bases.

L'objectif

Établir $F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ via la concaténation libre de bases.

Le principe

La somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe si et seulement si la concaténation d'une base $\mathcal{B}_i$ de chaque $F_i$ est une famille libre de $E$ (elle forme alors une base de la somme).

La méthode

1
Je choisis une base $\mathcal{B}_i = (v_i^{(1)}, \dots, v_i^{(d_i)})$ de chaque $F_i$ , puis je forme la famille concaténée $\mathcal{B} = \mathcal{B}_1 \cup \dots \cup \mathcal{B}_k$ .
2
J'écris une combinaison linéaire nulle de $\mathcal{B}$ , je regroupe les termes par sous-espace (chaque groupe donne un élément $x_i \in F_i$ ) et j'obtiens $\sum x_i = 0$ , puis j'en déduis que chaque $x_i = 0$ .
3
Comme $\mathcal{B}_i$ est libre dans $F_i$ , tous les coefficients sont nuls : $\mathcal{B}$ est libre et la somme est directe.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $F = \mathrm{Vect}((1,0,0), (0,1,0))$ et $G = \mathrm{Vect}((0,0,1))$ dans $\mathbb{R}^3$ . Montrer que $F + G$ est directe.

Étape 1 —

Je choisis une base

\mathcal{B}_i = (v_i^{(1)}, \dots, v_i^{(d_i)})

de chaque

F_i

, puis je forme la famille concaténée

\mathcal{B} = \mathcal{B}_1 \cup \dots \cup \mathcal{B}_k

$\mathcal{B}_F = ((1,0,0), (0,1,0))$ est une base de $F$ et $\mathcal{B}_G = ((0,0,1))$ en est une de $G$ ; je concatène : $\mathcal{B} = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$ .

Étape 2 —

J'écris une combinaison linéaire nulle de

\mathcal{B}

, je regroupe les termes par sous-espace (chaque groupe donne un élément

x_i \in F_i

) et j'obtiens

\sum x_i = 0

, puis j'en déduis que chaque

x_i = 0

$\alpha(1,0,0) + \beta(0,1,0) + \gamma(0,0,1) = 0$ donne $(\alpha, \beta, \gamma) = (0,0,0)$ .

Étape 3 —

Comme

\mathcal{B}_i

est libre dans

F_i

, tous les coefficients sont nuls :

\mathcal{B}

est libre et la somme est directe.

La famille est libre, donc $F \oplus G$ ; c'est la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .

$\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ , soient $F = \mathrm{Vect}(1, X)$ et $G = \mathrm{Vect}(X^2 + 1)$ . Montrer que $F + G$ est directe.

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^4$ , soient $F = \mathrm{Vect}(u_1, u_2)$ et $G = \mathrm{Vect}(u_3)$ avec $u_1 = (1,0,0,0)$ , $u_2 = (0,1,1,0)$ , $u_3 = (1,1,0,0)$ . Montrer que $F + G$ est directe.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $F_1 = \mathrm{Vect}((1,0,0))$ et $F_2 = \mathrm{Vect}((0,1,0), (0,0,1))$ . Vérifier que la concaténation des bases est libre.

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $F_1 = \mathrm{Vect}((1,1,0))$ et $F_2 = \mathrm{Vect}((0,1,1), (1,0,-1))$ . La concaténation des bases est-elle libre ?

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En concaténant des bases des FiF_iFi​ et en vérifiant la liberté de la famille obtenue

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