En interprétant $A$ et $B$ comme matrices d'un même endomorphisme dans deux bases

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ est semblable à $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. En prenant la base $\mathcal{B}' = (u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1,1)$ et $u_2 = (2,1)$, montrer que $A$ est semblable à $B = \mathrm{diag}(1, 2)$.

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ est semblable à toute matrice de la forme $B_\alpha = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ avec $\alpha \neq 0$.

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ sont semblables en les voyant comme matrices d'un même endomorphisme dans deux bases adaptées.

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $A$ et $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ sont semblables.