En exhibant explicitement une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{-1} A P$

L'objectif

Établir $B = P^{-1} A P$ en produisant un candidat explicite $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

Le principe

Deux matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont semblables si et seulement s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $B = P^{-1} A P$ ; exhiber un tel $P$ suffit à établir la similitude.

La méthode

1
Je propose une matrice candidate $P$ (souvent suggérée par l'énoncé ou par la structure des sous-espaces en jeu), et je vérifie qu'elle est inversible en calculant son déterminant ou en échelonnant.
2
Je calcule $A P$ puis je vérifie l'égalité $A P = P B$ , plus simple à manipuler que $B = P^{-1} A P$ .
3
Je conclus que $A$ et $B$ sont semblables, avec la relation $B = P^{-1} A P$ .

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ sont semblables.

Application guidée 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est semblable à $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Montrer que toute matrice $A$ est semblable à elle-même.

Application autonome 2

Soient $D = \mathrm{diag}(1, 2)$ et $D' = \mathrm{diag}(2, 1)$ . Montrer que $D$ et $D'$ sont semblables.

Application autonome 3

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \mathrm{diag}(4, 2)$ sont semblables en exhibant $P$ inversible avec $B = P^{-1} A P$ .

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En exhibant explicitement une matrice inversible PPP telle que B=P−1APB = P^{-1} A PB=P−1AP

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En exhibant explicitement une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{-1} A P$