Comment utiliser les formules de changement de base pour obtenir la matrice d'un endomorphisme dans une nouvelle base ? | MetMat

Comment utiliser les formules de changement de base pour obtenir la matrice d'un endomorphisme dans une nouvelle base ?

En calculant directement les images $f(e'_j)$ et en lisant leurs coordonnées dans $\mathcal{B}'$

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ sans inverser de matrice de passage, en calculant $f(e'_j)$ et ses coordonnées dans $\mathcal{B}'$ .

L'objectif

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ sans inverser de matrice de passage, en calculant $f(e'_j)$ et ses coordonnées dans $\mathcal{B}'$ .

Le principe

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ a pour $j$ -ème colonne les coordonnées de $f(e'_j)$ dans la base $\mathcal{B}'$ .

La méthode

1
Pour chaque $j \in \{1,\dots,n\}$ , je calcule l'image $f(e'_j)$ à partir de la définition de $f$ ou de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .
2
Je décompose chaque $f(e'_j)$ dans la base $\mathcal{B}'$ en résolvant si besoin un système linéaire : $f(e'_j) = \sum_i a_{i,j}\, e'_i$ .
3
Je place les coordonnées $(a_{1,j}, \dots, a_{n,j})$ en $j$ -ème colonne de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ .

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Exercice d'exemple

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ définie par $f(x,y) = (x, -y)$ (symétrie axiale). Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ dans $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ .

Étape 1 —

Pour chaque

j \in \{1,\dots,n\}

, je calcule l'image

f(e'_j)

à partir de la définition de

f

ou de

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)

Je calcule $f(e_1 + e_2) = (1, -1) = e_1 - e_2 = e'_2$ et $f(e_1 - e_2) = (1, 1) = e_1 + e_2 = e'_1$ .

Étape 2 —

Je décompose chaque

f(e'_j)

dans la base

\mathcal{B}'

en résolvant si besoin un système linéaire :

f(e'_j) = \sum_i a_{i,j}\, e'_i

Je lis directement : $f(e'_1) = 0 \cdot e'_1 + 1 \cdot e'_2$ et $f(e'_2) = 1 \cdot e'_1 + 0 \cdot e'_2$ .

Étape 3 —

Je place les coordonnées

(a_{1,j}, \dots, a_{n,j})

j

-ème colonne de

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)

Je place les colonnes : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^2$ , soit $f$ définie par $f(x,y) = (2x + y, x + 2y)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ pour $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ , soit $D \colon P \mapsto P'$ et $\mathcal{B}' = (1, X-1, (X-1)^2)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(D)$ .

Application autonome 2

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ définie par $f(x, y) = (x + y, x + y)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ pour $\mathcal{B}' = ((1, 1), (1, -1))$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $f(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y)$ et $\mathcal{B}' = ((1, 1, 1), (1, -1, 0), (1, 1, -2))$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ .

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En calculant directement les images f(ej′)f(e'_j)f(ej′​) et en lisant leurs coordonnées dans B′\mathcal{B}'B′

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En calculant directement les images $f(e'_j)$ et en lisant leurs coordonnées dans $\mathcal{B}'$