En résolvant directement le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\mathcal{B}$ canonique, soit $x = (3, 5)$ et $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$. Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ par résolution.

Dans $\mathbb{R}^3$ muni de $\mathcal{B}$ canonique, soit $x = (1, 2, 3)$ et $\mathcal{B}' = (e_1, e_1+e_2, e_1+e_2+e_3)$. Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ par résolution.

Dans $\mathbb{R}^2$, soit $\mathcal{B}$ canonique, $\mathcal{B}' = (e_1 + 2 e_2, 3 e_1 + e_2)$ et $x = (5, 5)$. Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$.

Dans $\mathbb{R}^2$, soit $\mathcal{B}' = (f_1, f_2)$ avec $f_1 = (1, 1)$ et $f_2 = (2, 3)$ dans la base canonique $\mathcal{B}$. Calculer les coordonnées dans $\mathcal{B}'$ du vecteur $x = (5, 8)$.

Soit $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ dans $\mathbb{R}^3$. Déterminer les coordonnées dans $\mathcal{B}'$ du vecteur $x$ de coordonnées $(2, 1, 3)$ dans $\mathcal{B}$.