Comment exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base à partir de ses coordonnées dans l'ancienne ? | MetMat

Comment exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base à partir de ses coordonnées dans l'ancienne ?

En appliquant la formule $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$

Déterminer le vecteur colonne $X_{\mathcal{B}'}$ des coordonnées dans la nouvelle base.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la base canonique $\mathcal{B}$ , soit $x = 3 e_1 + 5 e_2$ et $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ . Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ .

L'objectif

Déterminer le vecteur colonne $X_{\mathcal{B}'}$ des coordonnées dans la nouvelle base.

Le principe

Si $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ et $X_{\mathcal{B}}, X_{\mathcal{B}'}$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées d'un même vecteur $x$ , alors $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$ , d'où $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1}\, X_{\mathcal{B}}$ .

La méthode

1
J'identifie la matrice de passage $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ et j'écris le vecteur colonne $X_{\mathcal{B}}$ des coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$ .
Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?Voir
2
Je calcule $P^{-1}$ (par pivot de Gauss, par la comatrice ou à partir d'une forme connue).
3
Je calcule $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ par produit matriciel et j'obtiens les coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}'$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la base canonique $\mathcal{B}$ , soit $x = 3 e_1 + 5 e_2$ et $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ . Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ .

Étape 1 —

J'identifie la matrice de passage

P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

et j'écris le vecteur colonne

X_{\mathcal{B}}

des coordonnées de

x

dans

\mathcal{B}

$P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

P^{-1}

(par pivot de Gauss, par la comatrice ou à partir d'une forme connue).

Je calcule $P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (car $\det P = -2$ et $P$ symétrique).

Étape 3 —

Je calcule

X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}

par produit matriciel et j'obtiens les coordonnées de

x

dans

\mathcal{B}'

Je calcule $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

$X_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ , c'est-à-dire $x = 4(e_1+e_2) - (e_1-e_2)$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ , soit $P(X) = 2 + 3X + X^2$ et $\mathcal{B}' = (1, X-1, (X-1)^2)$ . Déterminer les coordonnées de $P$ dans $\mathcal{B}'$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^2$ , soient $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ canonique et $\mathcal{B}' = (2 e_1, 3 e_2)$ . Pour $x = 4 e_1 - 6 e_2$ , déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ muni de $\mathcal{B}$ canonique, soit $x = (1, 2, 3)$ et $\mathcal{B}' = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1))$ . Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\mathcal{B}$ canonique, soit $x = (5, 1)$ et $\mathcal{B}' = ((2, 1), (1, 3))$ . Déterminer $X_{\mathcal{B}'}$ .

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En appliquant la formule XB′=P−1XBX_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}XB′​=P−1XB​

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En appliquant la formule $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$