En inversant la matrice de passage dans l'autre sens

Dans $\mathbb{R}^2$, on a $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$.

Dans $\mathbb{R}_2[X]$, on a $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ avec $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ et $\mathcal{B}' = (1, X-1, (X-1)^2)$. Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$.

Dans $\mathbb{R}^3$ muni de la base canonique $\mathcal{B}$, on a $\mathcal{B}' = (e_1, e_1 + e_2, e_1 + e_2 + e_3)$. Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$.

Soient $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ et $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ deux bases de $\mathbb{R}^2$. Déterminer la matrice de passage $P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$ sachant que $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

Dans $\mathbb{R}^3$, on donne $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer $P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$.