Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ? | MetMat

Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?

En composant deux matrices de passage via une base intermédiaire

Déterminer la matrice de passage entre $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}''$ lorsqu'une base intermédiaire $\mathcal{B}'$ facilite les calculs.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $\mathcal{B}$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$ , $\mathcal{B}' = (e_1, e_1+e_2)$ et $\mathcal{B}'' = (e_1+e_2, e_1-e_2)$ . Déterminer $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}$ via $\mathcal{B}'$ .

L'objectif

Déterminer la matrice de passage entre $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}''$ lorsqu'une base intermédiaire $\mathcal{B}'$ facilite les calculs.

Le principe

Pour trois bases $\mathcal{B}, \mathcal{B}', \mathcal{B}''$ d'un même espace vectoriel, $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\, P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$ .

La méthode

1
Je choisis une base intermédiaire $\mathcal{B}'$ telle que $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ et $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$ soient plus simples à écrire que $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}$ directement.
2
J'écris les deux matrices de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ et $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$ en plaçant les coordonnées en colonnes.
3
Je calcule leur produit $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\, P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $\mathcal{B}$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$ , $\mathcal{B}' = (e_1, e_1+e_2)$ et $\mathcal{B}'' = (e_1+e_2, e_1-e_2)$ . Déterminer $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}$ via $\mathcal{B}'$ .

Étape 1 —

Je choisis une base intermédiaire

\mathcal{B}'

telle que

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}

soient plus simples à écrire que

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}

directement.

La base intermédiaire $\mathcal{B}'$ permet de relier simplement $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}''$ .

Étape 2 —

J'écris les deux matrices de passage

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}

en plaçant les coordonnées en colonnes.

J'écris $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Pour $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$ : $e_1 + e_2 = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot (e_1+e_2)$ et $e_1 - e_2 = 2 e_1 - (e_1 + e_2)$ , donc $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule leur produit

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\, P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}

et je conclus.

Je calcule $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (cohérent avec la définition directe).

$P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^2$ , soient $\mathcal{B}$ canonique, $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ et $\mathcal{B}'' = ((e_1+e_2) + (e_1-e_2),\, (e_1+e_2) - (e_1-e_2))$ . Déterminer $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $\mathcal{B}$ canonique, $\mathcal{B}' = (e_1, e_1+e_2, e_1+e_2+e_3)$ et $\mathcal{B}''$ obtenue en permutant les deux premiers vecteurs de $\mathcal{B}'$ : $\mathcal{B}'' = (e_1+e_2, e_1, e_1+e_2+e_3)$ . Déterminer $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^2$ , soient $\mathcal{B}$ canonique, $\mathcal{B}' = (2e_1, e_2)$ et $\mathcal{B}'' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ . Déterminer $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}$ via $\mathcal{B}'$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^2$ , soient $\mathcal{B}$ canonique, $\mathcal{B}' = (e_1, e_1 + e_2)$ et $\mathcal{B}'' = (2e_1, 3e_1 + 2e_2)$ . Déterminer $P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}''}$ en passant par $\mathcal{B}'$ .

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