Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ? | MetMat

Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?

En écrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$

Obtenir $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ à partir de l'expression des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la base canonique $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ , déterminer la matrice de passage vers $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2,\, 2 e_1 - e_2)$ .

L'objectif

Obtenir $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ à partir de l'expression des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ .

Le principe

Par définition, la $j$ -ème colonne de $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est formée des coordonnées du $j$ -ème vecteur de $\mathcal{B}'$ exprimées dans la base $\mathcal{B}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ et $\mathcal{B}' = (e'_1,\dots,e'_n)$ sont bien deux bases de $E$ .
2
Pour chaque $j \in \{1,\dots,n\}$ , je décompose $e'_j$ dans $\mathcal{B}$ : $e'_j = \sum_{i=1}^{n} p_{i,j}\, e_i$ .
3
Je place les coordonnées $(p_{1,j}, \dots, p_{n,j})$ en $j$ -ème colonne de $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = (p_{i,j})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la base canonique $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ , déterminer la matrice de passage vers $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2,\, 2 e_1 - e_2)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)

\mathcal{B}' = (e'_1,\dots,e'_n)

sont bien deux bases de

E

$\mathcal{B}$ est la base canonique ; $\mathcal{B}'$ est libre (déterminant $-1-2 = -3 \neq 0$ ), donc base de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Pour chaque

j \in \{1,\dots,n\}

, je décompose

e'_j

dans

\mathcal{B}

e'_j = \sum_{i=1}^{n} p_{i,j}\, e_i

Je décompose : $e'_1 = 1 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2$ et $e'_2 = 2 \cdot e_1 - 1 \cdot e_2$ .

Étape 3 —

Je place les coordonnées

(p_{1,j}, \dots, p_{n,j})

j

-ème colonne de

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = (p_{i,j})

Je place les coordonnées en colonnes : $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

$P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ , déterminer la matrice de passage vers $\mathcal{B}' = (1, X-1, (X-1)^2)$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ muni de la base canonique $\mathcal{B}$ , déterminer la matrice de passage vers $\mathcal{B}' = (e_1, e_1+e_2, e_1+e_2+e_3)$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ muni de la base canonique $\mathcal{B}$ , déterminer la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}' = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1))$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ , déterminer la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}' = (\cos\theta \cdot e_1 + \sin\theta \cdot e_2,\ -\sin\theta \cdot e_1 + \cos\theta \cdot e_2)$ (rotation d'angle $\theta$ ).

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En écrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs de B′\mathcal{B}'B′ dans B\mathcal{B}B

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$