En partant d'une matrice connue dans une autre base et en appliquant la formule de changement de base

L'objectif

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ sans calculer directement les images $f(e'_j)$ .

Le principe

Si $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ et $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ , alors $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} A P$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases de $E$ et j'identifie $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ ainsi que $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ , matrice de passage dont les colonnes contiennent les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ .
Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?Voir
2
Je calcule $P^{-1}$ (par exemple par la méthode du pivot de Gauss ou par $P^{-1} = \frac{1}{\det P}\,{}^t\!\mathrm{com}(P)$ en dimension $2$ ).
3
Je calcule $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} A P$ par produit matriciel.

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Application guidée 1

Soit $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ dans $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ . On pose $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ .

Application guidée 2

Soit $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $\mathcal{B}' = (e_1, e_1 + e_2)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ .

Application autonome 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ dans $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 + 2 e_2)$ .

Application autonome 2

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ pour $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ .

Application autonome 3

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ dans $\mathcal{B}$ canonique. Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ pour $\mathcal{B}' = (e_1, e_1 + e_2, e_3)$ .

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