Comment exploiter l'invariance de la trace par similitude pour résoudre un exercice ? | MetMat

Comment exploiter l'invariance de la trace par similitude pour résoudre un exercice ?

En utilisant $\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(P^{-1}AP)$ pour calculer la trace via une matrice semblable plus simple

Simplifier le calcul d'une trace en exploitant une forme diagonale ou triangulaire semblable à la matrice initiale.

L'objectif

Simplifier le calcul d'une trace en exploitant une forme diagonale ou triangulaire semblable à la matrice initiale.

Le principe

Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , $\mathrm{Tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{Tr}(A)$ ; en particulier la trace d'une matrice diagonalisable vaut la somme de ses valeurs propres (comptées avec multiplicité).

La méthode

1
Je cherche une matrice $B$ semblable à $A$ plus simple (diagonale, triangulaire, par blocs) en exhibant $P$ ou en diagonalisant $A$ .
2
J'applique l'invariance : $\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B)$ , et je calcule directement $\mathrm{Tr}(B)$ en sommant les coefficients diagonaux (ou les valeurs propres).
3
Je conclus sur la valeur de $\mathrm{Tr}(A)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ diagonalisable de valeurs propres $-1, 2, 4$ . Calculer $\mathrm{Tr}(A)$ .

Étape 1 —

Je cherche une matrice

B

semblable à

A

plus simple (diagonale, triangulaire, par blocs) en exhibant

P

ou en diagonalisant

A

$A$ est semblable à $D = \mathrm{diag}(-1, 2, 4)$ (diagonalisation).

Étape 2 —

J'applique l'invariance :

\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B)

, et je calcule directement

\mathrm{Tr}(B)

en sommant les coefficients diagonaux (ou les valeurs propres).

Par invariance de la trace : $\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(D) = -1 + 2 + 4 = 5$ .

Étape 3 —

Je conclus sur la valeur de

\mathrm{Tr}(A)

Donc $\mathrm{Tr}(A) = 5$ .

$\mathrm{Tr}(A) = 5$ .

Application guidée

Soit $p$ un projecteur de $\mathbb{R}^n$ de rang $r$ . Calculer $\mathrm{Tr}(p)$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\mathrm{Tr}(A^{10})$ via la diagonalisation.

Application autonome 2

Soit $A$ semblable à $D = \mathrm{diag}(1, -2, 3, 5)$ . Calculer $\mathrm{Tr}(A^2)$ .

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ diagonalisable avec valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ vérifiant $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 4$ . Calculer $\mathrm{Tr}(2 A - I_3)$ .

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En utilisant Tr(A)=Tr(P−1AP)\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(P^{-1}AP)Tr(A)=Tr(P−1AP) pour calculer la trace via une matrice semblable plus simple

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En utilisant $\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(P^{-1}AP)$ pour calculer la trace via une matrice semblable plus simple