Comment calculer la trace d'une matrice carrée et exploiter sa linéarité ? | MetMat

Comment calculer la trace d'une matrice carrée et exploiter sa linéarité ?

En permutant un produit via $\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)$

L'objectif

Remplacer un produit $AB$ par $BA$ sous la trace pour simplifier le calcul.

Le principe

Pour $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ , $AB \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $BA \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ vérifient $\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)$ .

La méthode

1
J'identifie dans l'expression un produit $AB$ dont la trace est à calculer et je vérifie la compatibilité des tailles pour que $AB$ et $BA$ soient bien définis.
2
J'applique l'égalité $\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)$ en choisissant l'ordre qui rend la matrice plus facile à calculer.
3
Je calcule la trace de la matrice obtenue par somme des coefficients diagonaux et je conclus.

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Application guidée 1

Soient $A \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})$ une matrice ligne et $B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ une matrice colonne. Calculer $\mathrm{Tr}(BA)$ en fonction de $AB$ .

Application guidée 2

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $\mathrm{Tr}(AB - BA) = 0$ .

Application autonome 1

Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $\mathrm{Tr}(P^{-1} A P) = \mathrm{Tr}(A)$ .

Application autonome 2

Soient $U \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $V \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})$ . Calculer $\mathrm{Tr}(UV)$ en fonction de $VU$ .

Application autonome 3

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ en dimension finie, et $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$ . Montrer que $\mathrm{Tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)) = \mathrm{Tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f))$ .

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En permutant un produit via Tr(AB)=Tr(BA)\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)Tr(AB)=Tr(BA)

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En permutant un produit via $\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)$