Comment calculer la trace d'une matrice carrée et exploiter sa linéarité ? | MetMat

Comment calculer la trace d'une matrice carrée et exploiter sa linéarité ?

En utilisant la linéarité de la trace pour décomposer une combinaison linéaire

Simplifier le calcul de $\mathrm{Tr}(\alpha A + \beta B)$ en le ramenant à celui de $\mathrm{Tr}(A)$ et $\mathrm{Tr}(B)$ .

L'objectif

Simplifier le calcul de $\mathrm{Tr}(\alpha A + \beta B)$ en le ramenant à celui de $\mathrm{Tr}(A)$ et $\mathrm{Tr}(B)$ .

Le principe

L'application $\mathrm{Tr} \colon \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est une forme linéaire : $\forall (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2,\ \forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2,\ \mathrm{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha\,\mathrm{Tr}(A) + \beta\,\mathrm{Tr}(B)$ .

La méthode

1
Je vérifie que toutes les matrices en présence sont carrées de même taille $n$ et j'identifie les scalaires $\alpha, \beta, \dots$ de la combinaison linéaire.
2
J'applique la linéarité : $\mathrm{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha\,\mathrm{Tr}(A) + \beta\,\mathrm{Tr}(B)$ , et je calcule séparément chaque trace.
3
Je conclus en substituant les valeurs obtenues.

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Exercice d'exemple

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $\mathrm{Tr}(3A - 2B)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que toutes les matrices en présence sont carrées de même taille

n

et j'identifie les scalaires

\alpha, \beta, \dots

de la combinaison linéaire.

Les matrices $A$ et $B$ sont carrées d'ordre $2$ ; les scalaires sont $\alpha = 3$ et $\beta = -2$ .

Étape 2 —

J'applique la linéarité :

\mathrm{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha\,\mathrm{Tr}(A) + \beta\,\mathrm{Tr}(B)

, et je calcule séparément chaque trace.

Par linéarité, $\mathrm{Tr}(3A - 2B) = 3\,\mathrm{Tr}(A) - 2\,\mathrm{Tr}(B) = 3(1+4) - 2(0+2) = 15 - 4$ .

Étape 3 —

Je conclus en substituant les valeurs obtenues.

Donc $\mathrm{Tr}(3A - 2B) = 11$ .

$\mathrm{Tr}(3A - 2B) = 11$ .

Application guidée

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{Tr}(A) = 5$ . Calculer $\mathrm{Tr}(2A + 3 I_n)$ .

Application autonome 1

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{Tr}(A) = 7$ . Calculer $\mathrm{Tr}(A - 2 I_3)$ .

Application autonome 2

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Calculer $\mathrm{Tr}(3A - 2B)$ en utilisant la linéarité de la trace.

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $\mathrm{Tr}(A) = 7$ et $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $\mathrm{Tr}(B) = -2$ . Calculer $\mathrm{Tr}\!\left(\dfrac{A + 2B}{3}\right)$ .

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