Comment étudier la stabilité d'un état d'équilibre d'un système $X'=AX$ ? | MetMat

Comment étudier la stabilité d'un état d'équilibre d'un système $X'=AX$ ?

En vérifiant que toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement négatives (stabilité asymptotique)

L'objectif

Déterminer si l'état d'équilibre $X^*=0$ d'un système $X'=AX$ est asymptotiquement stable, c'est-à-dire si toute trajectoire issue d'une condition initiale revient vers $X^*$ .

Le principe

Pour $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable de valeurs propres réelles $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ , l'origine est asymptotiquement stable si et seulement si $\lambda_i<0$ pour tout $i$ , car alors toute solution s'écrit $X(t)=\sum c_i e^{\lambda_i t} V_i\xrightarrow[t\to+\infty]{} 0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X^*=0$ est bien un état d'équilibre : $A\cdot 0=0$ , ce qui est immédiat pour un système linéaire homogène.
2
Je calcule le polynôme caractéristique de $A$ et j'en déduis les valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ (avec $A$ diagonalisable).
Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?Voir
3
Je conclus : si tous les $\lambda_i<0$ alors l'équilibre $X^*=0$ est asymptotiquement stable ; s'il existe $\lambda_i\geq 0$ , alors il ne l'est pas (instable si $\lambda_i>0$ , marginalement stable si certaines valeurs propres sont nulles et les autres strictement négatives).

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Application guidée 1

Étudier la stabilité de l'équilibre $X^*=0$ pour $A=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ (modèle d'amortissement à deux espèces).

Application guidée 2

Étudier la stabilité de l'équilibre $X^*=0$ pour le modèle de population $\begin{cases} N_1'=0{,}5 N_1-N_2 \\ N_2'=N_1-0{,}5 N_2 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Étudier la stabilité de l'équilibre $X^*=0$ pour $A=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Étudier la stabilité de l'équilibre $X^* = 0$ pour $A = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Étudier la stabilité de l'équilibre $X^* = 0$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ .

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En vérifiant que toutes les valeurs propres de AAA sont strictement négatives (stabilité asymptotique)

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En vérifiant que toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement négatives (stabilité asymptotique)