Comment résoudre $X'=AX$ lorsque $A$ est diagonalisable (taille 2 ou 3) ? | MetMat

Comment résoudre $X'=AX$ lorsque $A$ est diagonalisable (taille 2 ou 3) ?

En diagonalisant $A$ , en posant $Y=P^{-1}X$ , puis en résolvant $Y'=DY$ qui se découple

Obtenir l'expression explicite de toutes les solutions $t\mapsto X(t)$ du système $X'=AX$ lorsque $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ( $n=2$ ou $3$ ) est diagonalisable dans $\mathbb{R}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Obtenir l'expression explicite de toutes les solutions $t\mapsto X(t)$ du système $X'=AX$ lorsque $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ( $n=2$ ou $3$ ) est diagonalisable dans $\mathbb{R}$ .

Le principe

Si $A=PDP^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , alors le changement d'inconnue $Y=P^{-1}X$ transforme $X'=AX$ en $Y'=DY$ , dont la solution est $Y(t)=\begin{pmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \\ \vdots \\ c_n e^{\lambda_n t} \end{pmatrix}$ , et $X(t)=PY(t)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est diagonalisable et je détermine ses valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ainsi qu'une base de vecteurs propres associés ; je forme la matrice de passage $P$ et $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ telles que $A=PDP^{-1}$ .
Comment diagonaliser explicitement une matrice ($D = P^{-1} A P$) ?Voir
2
Je pose le changement d'inconnue $Y(t)=P^{-1}X(t)$ ; le système devient $Y'(t)=DY(t)$ , soit les $n$ équations découplées $y_i'(t)=\lambda_i\,y_i(t)$ d'où $y_i(t)=c_i e^{\lambda_i t}$ avec $c_i\in\mathbb{R}$ .
3
Je reviens à $X$ par $X(t)=PY(t)$ , ce qui donne $X(t)=\sum_{i=1}^{n} c_i e^{\lambda_i t}\,V_i$ où $V_i$ est la $i$ -ème colonne de $P$ (vecteur propre associé à $\lambda_i$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est diagonalisable et je détermine ses valeurs propres

\lambda_1,\dots,\lambda_n

ainsi qu'une base de vecteurs propres associés ; je forme la matrice de passage

P

D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)

telles que

A=PDP^{-1}

Le polynôme caractéristique est $(3-\lambda)^2-1=(\lambda-2)(\lambda-4)$ donc $\lambda_1=2,\,\lambda_2=4$ . Les vecteurs propres sont $V_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $V_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , donc $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je pose le changement d'inconnue

Y(t)=P^{-1}X(t)

; le système devient

Y'(t)=DY(t)

, soit les

n

équations découplées

y_i'(t)=\lambda_i\,y_i(t)

d'où

y_i(t)=c_i e^{\lambda_i t}

avec

c_i\in\mathbb{R}

Avec $Y=P^{-1}X$ , le système devient $\begin{cases} y_1'=2y_1 \\ y_2'=4y_2 \end{cases}$ donc $y_1(t)=c_1 e^{2t}$ et $y_2(t)=c_2 e^{4t}$ .

Étape 3 —

Je reviens à

X

par

X(t)=PY(t)

, ce qui donne

X(t)=\sum_{i=1}^{n} c_i e^{\lambda_i t}\,V_i

où

V_i

est la

i

-ème colonne de

P

(vecteur propre associé à

\lambda_i

On revient via $X=PY$ : $X(t)=c_1 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+c_2 e^{4t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , soit $\begin{cases} x(t)=c_1 e^{2t}+c_2 e^{4t} \\ y(t)=-c_1 e^{2t}+c_2 e^{4t} \end{cases}$ .

$X(t)=c_1 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}+c_2 e^{4t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $(c_1,c_2)\in\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Résoudre $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ (modèle de relaxation à deux compartiments).

Application autonome 1

Résoudre $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Résoudre $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ (cas $3\times 3$ triangulaire).

Application autonome 3

Résoudre $X' = AX$ avec $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En diagonalisant AAA, en posant Y=P−1XY=P^{-1}XY=P−1X, puis en résolvant Y′=DYY'=DYY′=DY qui se découple

Pour comprendre, fais des exercices !

En diagonalisant $A$ , en posant $Y=P^{-1}X$ , puis en résolvant $Y'=DY$ qui se découple